Facit

25. Provexempel med facit
Efternamn ___________________ Namn __________________
G ≥8 poäng, VG≥16 poäng, MVG≥24 poäng.
Del 1. (Högst 7 poäng, aven med tidigare poäng för 1:a delen)
1. Visa att heltal är delbart med 4  talets två slutsiffror utgör ett tal som är delbart med 4.
Lösning. Låt M beteckna ett heltal, N – talet som utgörs av M’s två sista siffror. Så är M–N ett
tal som slutar på två nollor och är således delbart med 100. Såsom 100 är delbart med 4 är även
M–N delbart med 4.
Om N är delbart med 4 så är M=(M–N)+N summan av två tal som är båda delbara med 4,
således är även M delbart med 4.
Om M är delbart med 4 så är N=M–(M–N) differensen av två tal som är båda delbara med 4,
således är även N delbart med 4.
2. Hur många kanter finns det i en graf som har 8 stycken hörn med grad 5 samt 6 stycken hörn
med grad 7?
Svar. 41 kanter.
Lösning. Summan av gradtalen är 85+67=82. Antalet kanter är hälften så stor.
Del 2.
3. Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen 8x+20y=100.
Svar. (5t, –2t+5) där t är ett godtyckligt heltal.
Lösning. SGD(8,20)=4|100. Vi delar båda led med 4 och får en
ekvivalent ekvation 2x+5y=25. Det är lätt att gissa en lösning
(x0,y0)=(0,5). Detta ger den almänna lösningen (5t+0, –2t+5) där t är
ett godtyckligt heltal.
4. Bestäm om grafen på bilden är planär eller icke planär.
Svar. Grafen är icke planär.
Lösning. Grafen är sammanhängande. Enligt grafteori, sats 13 i en planär sammanhängande graf
skulle gälla olikheten K≤3H–6 där K och H antalet kanter respective horn. I grafen på bilden är
K=19, H=8, vilket inte uppfyller olikheten. Så är grafen icke planär.
5. En väckarklocka skulle ringa klockan 8, men Peter vaknade tidigare. Han lagt märke på en
gång att timvisaren är bisektrisen av vinkeln som bildas av minutvisaren och väckarvisaren (som
pekar på siffran 8 förstås). ”Jaha, sådant händer, men detta är sista gången före klockan 8” – kom
Peter till slutsatsen. När vaknade Peter?
Svar: 7 h 36 min
Lösning. Låt Peter vakna kl. 7 h x min. Markera även minutsiffrorna rund klockan. Så pekar
väckarvisaren till 40 min, minutvisaren till x min samt timvisaren till 35 + 5x/60 min. Att
vinklarna är lika stora innebär att differenserna är lika stora, d.v.s. 40-(35+5x/60)=35+5x/60 - x,
vilket ger x=36.
Den 21 maj, Metapontum, åk2 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2006/vt2/