Matematikcentrum
Matematik NF
Fermats lilla sats
I uppgift 3.36 visades att a5 − a ≡ 0 (mod 5) för alla heltal a. Vi ska generalisera detta
till
ap ≡ a (mod p),
(1)
för alla a ∈ Z och alla primtal p. Enligt uppgift 3.28 är detta ekvivalent med att
ap−1 ≡ 1
(mod p),
(2)
för alla heltal a 6≡ 0 (mod p).
Resultatet (1) (eller ekvivalent (2)) kallas Fermats lilla sats efter Pierre de Fermat,
som presenterade satsen utan bevis år 1640. Den första som publicerade ett bevis var
Euler, 1736. Leibniz hade dock tidigare ett bevis, som han aldrig publicerade. Satsen
kan användas för att testa om ett tal är sammansatt. Om n är ett primtal så måste
an−1 ≡ 1 (mod n) för alla heltal a. Om man kan hitta ett tal a så att detta inte gäller
är n sammansatt. Observera att omvändingen inte gäller. Ett sammansatt tal sådant att
an−1 ≡ 1 (mod n) för något tal a = 2, . . . , n − 1 kallas pseudoprimtal (för a = 1 gäller
alltid kongruensen).
1. Visa med hjälp av binomialsatsen att (x + y)p ≡ xp + y p (mod p).
2. Använd induktion och föregående uppgift för att visa (1).
3. (För den intresserade läsaren.) Visa att 37200001 ≡ 3 (mod 73).
EW 9 maj 2008
