“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 9. Fermats lilla sats
1. Använd Fermats lilla sats för att visa att 221 inte är ett primtal.
2. Om talet m är sammansatt men am−1 = 1 (mod m) säger man att m
är ett pseudoprimtal i bas a.
a) Visa att 561 är pseudoprimtal i bas 2.
b) Visa att 645 är pseudoprimtal i bas 2.
c) Visa att 91 är pseudoprimtal i basen 3.
b) Visa att 45 är pseudoprimtal i baserna 17 och 19.
3. Visa att om d och n är positiva heltal sådana att d|n så gäller också
att (2d − 1)|(2n − 1). (Ledning: Tänk på hur vi visade att om n är
sammansatt så är även 2n − 1 sammansatt.)
4. Vi ska visa att det finns oändligt många pseudoprimtal i bas 2 genom
att utgå från 341 och visa att om n är ett udda pseudoprimtal i bas 2 så
är även m = 2n −1 ett sådant. Låt alltså n vara ett udda pseudoprimtal
i bas 2 och eftersom då n är sammansatt kan vi skriva n = d · t med
1 < d, t < n.
a) Visa att m = 2n − 1 är sammansatt. (Använd 3 ovan.)
b) Visa att 2m ≡ 1 (mod m) genom att använda att 2n ≡ 2 (mod n)
vilket medför att vi kan skriva 2n − 2 = kn och alltså 2m−1 = 2kn .
Använd sedan 3 ovan för att visa att m|2m−1 − 1.
5. Ett Carmichael-tal är ett sammansatt tal n sådant att
an−1 ≡ 1 (mod n), för alla a med SGD(a, n) = 1.
a) Visa att 2821 = 7 · 13 · 31 är ett Carmichael-tal.
b) Visa att 10585 = 5 · 29 · 73 är ett Carmichael-tal.
..........................................
