(Diskret matte CL, vt10: F1, må 18 jan 2010)
Vi inledde kursen med några egenskaper för heltalen, Z.
Sats (division med rest): Om p, d är heltal, d 6= 0, finns entydiga heltal q, r med
p = qd + r och 0 ≤ r < |d|.
Talet q kallas kvoten av p och d, r kallas (den principala) resten.
Satsen visades på föreläsningen
(r är det minsta talet som är ≥ 0 och kan skrivas p − ad, a heltal).
Beviset ger med ganska små modifikationer att motsvarande gäller för polynom (med
rationella, reella eller komplexa koefficienter), där resten r(x):s grad < divisorn d(x):s
grad och för gaussiska heltal (komplexa tal m + in (m, n heltal)), där |r|2 < |d|2 .
Om talbaser, att skriva ett naturligt tal i bas t, där t ≥ 2:
Satsen
ovan ger att vi för ett godtyckligt naturligt tal x får
x
q
0
qn−2
qn−1
= q 0 t + r0
= q 1 t + r1
..
.
..
.
= qn−1 t + rn−1
= q n t + rn ,
0 ≤ ri < t
qn = 0 (gäller för något n)
och därur
x = ((. . . ((rn t + rn−1 )t + rn−2 )t + · · · + r2 )t + r1 )t + r0
= rn tn + rn−1 tn−1 + · · · + r2 t2 + r1 t + r0 ,
dvs x uttryckt i bas t är x = (rn rn−1 . . . r2 r1 r0 )t .
Som exempel fann vi att 2010 = (11111011010)2 , talet 2010 i binär form.
t = 16 ger hexadecimal form och t = 8 ger oktal form.
Att fundera på: Kan man ha t = 1? t < 0?
Definition: Om d, m är heltal betyder ”d delar m”, ”d är en delare till m”,
”m är en multipel av d” osv, med symboler d | m, att det finns ett heltal q
så att m = qd (dvs division av m med d ger rest 0).
Definition: Ett primtal är ett tal p > 1 som bara har delarna ±1, ±p.
Definition: Om m, n är heltal, är en största gemensam delare, sgd (eng.
gcd), till m och n ett heltal d så att
i) d | m, d | n
ii) c | m, c | n ⇒ c | d
iii) d ≥ 0
(Boken har c | m, c | n ⇒ c ≤ d i stället för ii) och iii). De två definitionerna ger
samma resultat, utom då m = n = 0.)
Delargrafen för ett naturligt tal innehåller alla talets delare och det går
en ”kant uppåt” mellan a och b precis
om a | b och det inte finns c 6= a, b med
a | c, c | b.
För två tal i grafen, d och m, gäller
att d | m omm det går en följd kanter
uppåt från d till m.
12
Delargrafen för 12
@
@
@
4
6
@
@
@
@
@
@
2
@
@
@
1
3
