POTENSER OCH POTENSLAGAR
För att göra framställningen något mer fyllig ska vi visa hur räknereglerna för
potenser i Sats 1.2 följer ur definitionen då exponenterna är heltal. När a är ett
(reellt) tal och n ett positivt heltal (dvs n = 1, 2, 3, . . .) så definieras1 an genom
an = a
| · a ·{z. . . · a} .
n faktorer
När n = 1 så består produkten i högerledet bara av en enda faktor, så a1 = a.
Av definitionen följer omedelbart att an+m = an · am eftersom båda sidorna är
produkten av n + m faktorer a:
an+m =
n
m
| · a ·{z. . . · a} · a
| · a ·{z. . . · a} = a · a .
|a · a ·{z. . . · a} = a
n + m faktorer
n faktorer m faktorer
(Här är förstås både n och m positiva heltal.) På samma sätt får man (an )m =
anm , ty båda sidorna är produkten av nm faktorer a. Definitionen ger också
(ab)n = an · bn , eftersom
(ab)n = (ab) · (ab) · . . . · (ab) = a
· a ·{z. . . · a} · b| · b ·{z. . . · }b = an · bn .
|
{z
} |
n faktorer n faktorer
n faktorer
Nästa steg är att definiera a0 . Ovan var ju exponenten n något av talen 1, 2, 3, . . .,
men inte 0, och vi kan faktiskt definiera a0 precis hur vi vill utan att orsaka
någon motsägelse. Emellertid anser man att räkneregeln an+m = an · am är så
viktig att man vill att den ska gälla även då någon exponent är 0. Om m = 0
och n är ett positivt heltal, så lyder räkneregeln an+0 = an · a0 , dvs an = an · a0
eftersom n + 0 = n. Om a 6= 0 så kan vi dividera med an och får att a0 måste
vara 1. Alltså: Om a 6= 0, så definierar vi a0 = 1. Om a = 0 så är an = 0 och
då lyder an = an · a0 helt enkelt 0 = 0 · a0 , vilket inte säger något alls. Man
kan i och för sig definiera 00 hur man vill, men normalt tilldelas 00 inget värde.
Lägg märke till att med definitionen a0 = 1 så gäller an+m = an · am också då
n = m = 0 eftersom båda leden i så fall är lika med 1. Även (an )m = anm gäller
då någon exponent (eller båda) är 0.
Härnäst ska vi definiera potenser med negativa exponenter. Som i fallet a0 kan
vi definiera t ex a−2 hur vi vill, men om vi insisterar på att regeln an+m = an ·am
ska fortsätta att gälla, så finns det bara ett sätt. Låt nämligen n vara ett positivt
heltal. Då vill vi alltså att an · a−n = an+(−n) = an−n = a0 = 1 och vi ser att vi
måste definiera a−n = 1/an samt att a måste vara 6= 0. Man kan lätt verifiera
att räknereglerna an+m = an · am , anm = (an )m samt (ab)n = an · bn gäller då n
eller m eller båda är negativa. Reglerna gäller således för alla heltalsexponenter.
1 I en definition berättar eller beskriver man hur ett ord eller en beteckning kommer att
användas i fortsättningen. En definition kan aldrig vara sann eller falsk, utan bara mer eller
mindre ändamålsenlig.
1
Lägg märke till att ”potenslagarna” inte är några mystiska samband eller lagar,
utan enkla konsekvenser av definitionen av uttrycket an . Hur ska man definiera
t ex 21/2 ? Tja, som vi har sagt ett par gånger redan så kan vi faktiskt definiera
det precis hur vi vill, men om vi vill att räknereglerna ska fortsätta gälla, så
finns det bara ett enda sätt. För i så fall vill vi med andra ord att (21/2 )2 =
22·1/2 = 2√1 = 2, dvs att 21/2 är en lösning till ekvationen x2 = 2, och då måste
21/2 = ± 2. Här väljer man den√positiva lösningen och definierar således√21/2 =
√
2. Allmänt sätter
man a1/2 = a för a ≥ 0. Analogt definieras
a1/3 = 3 a och
√
√
q
p/q
1/q
q
p
= a och kan visa att
allmänt a
= a för q = 1, 2, 3, . . .. Man får då a
räknereglerna gäller. Utvidgningen av ax till godtyckliga reella exponenter x är
komplicerad och vi ska inte bekymra oss om det här.
3
En sista kommentar gäller potensuttryck av typen 22 (se t ex Exempel 1.11 e)).
3
Ett sådant ska uppfattas som 2(2 ) (= 28 = 256) och inte som (22 )3 (= 26 = 64).
2
