Lektion 02
Bevis inom aritmetik
Satserna inom aritmetiken och algebran handlar om allmänna samband mellan tal.
Aritmetikens fundamentalsats
Varje heltal större än 1 kan skrivas som en produkt av primtal på ett
och endast ett sätt.
Exempel
12 = 22 ⋅ 3
Påståenden som handlar om allmänna samband mellan tal bevisas enklast med hjälp av algebra.
Allmänt om tal
Låt n vara ett heltal
𝑛∈ℤ
ℤ = … − 2, −1, 0, 1, 2 …
Då gäller att
Jämna = {2n , n ∈ ℤ}
Udda = {2n + 1 , n ∈ ℤ}
Tre på varandra följande tal n , n + 1 , n + 2 eller
n − 1, n, n + 1
Implikation: P ⇒ Q utläses ”P medför Q"
x = 3 ⇒ x2 = 9
x > 0 ⇒ x2 > 0
Ekvivalens: P ⇔ Q utläses ”P är ekvivalent med Q”
x = 5 ⇔ 2x = 10
x = 3 eller x = −3 ⇔ x 2 = 9
Låt a och b vara heltal,
man säger då att
b delar a om det finns ett heltal n sådant att
a=n⋅b ⇔ b|a
Exempel
5 | 20 då 5 ⋅ 4 = 20
Exempel 1
Visa att produkten av två jämna tal är delbar med 2
Exempel 2
Visa att produkten av två udda tal är ett udda tal
Exempel 3
Visa att uttrycket 2n3 + 3n2 + n är ett jämnt tal, om n är ett heltal
