XXVX Internationella Matematikolympiaden
Braunschweig, Västtyskland 1989
Andra dagen, 19 juli 1989
4. I den konvexa fyrhörningen ABCD, med sidorna AB, BC, CD och DA, gäller |AB| = |AD|+|BC|.
I det inre av fyrhörningen finns en punkt P , på avstånd h från linjen CD, sådan att |AP | = h + |AD|
och |BP | = h + |BC|. Visa att
1
1
1
√ ≥p
+p
.
|AD|
|BC|
h
5. Visa att det till varje positivt heltal n finns n på varandra följande positiva heltal, sådana att inget av
dem är en heltalspotens av ett primtal.
6. En permutation (x1 , x2 , . . . , x2n ) av mängden {1, 2, . . . , 2n}, där n är ett positivt heltal, har egenskapen P om |xi − xi+1 | = n för minst ett index i mängden {1, 2, . . . , 2n − 1}. Visa att det finns fler
permutationer med egenskap P än permutationer som inte har egenskap P .
