“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 6. Kongruensräkning
1. Bestäm det minsta naturliga tal som satisfierar
a) x ≡ 45 (mod 4),
b) x ≡ −17 (mod 3).
2. Vad blir resten vid division av 411 · 821 + 376 · 297 med 7 ?
3. Vilken rest får man vid division av 20761 med 13 ?
4. Bestäm alla kvadratiska rester modulu 5 (dvs. alla rester mellan 0 och 4 som uppkommer då man dividerar ett kvadrattal med 5). Ge också två exempel på diofantiska
ekvationer vars olösbarhet följer av resultatet om kvadratiska rester.
5. Bestäm resten vid division av 63111 med 11.
6. Visa att (1747 + 212 )14 − 4 är delbart med 13.
7. Visa att för varje naturligt tal n gäller att 112n + 52n+1 − 6 är delbart med 24.
8. a) Visa att följande diofantiska ekvationer saknar lösningar.
a) x2 − 4y 2 = 2,
b) x2 + 5y 2 = 1.000.002.
c) 2x4 + 7y 16 = 7003.
9. Visa att inget tal på formen 4n + 3 kan skrivas som en summa av två kvadrater.
10. Visa att det inte kan finnas något naturligt tal på formen 8n + 7 som kan skrivas som
en summa av tre kvadrater. (Diophantos)
11. Vi har visat att inget tal på formen 8n+7 kan skrivas som en summa av tre kvadrater.
Gauss visade att det nästan bara är just dessa som har den egenskapen. Att det bara
är “nästan” följer av följande påstående: Om 4|n och n är en summa av tre kvadrater
så gäller att även n/4 är en summa av tre kvadrater. Visa detta samt visa att det
medför att det finns ytterligare tal som ej är en summa av tre kvadrater. (Gauss
resultat är just att det är dessa och endast dessa som ej kan skrivas på det angivna
sättet.)
