Repetition
Kvadratiska rester, QR och NR
Algebra och talteori
MMGL31
Legendre symbolen
kap 25-26
Euler kriterium
Samuel Bengmark
Idag
Minns
• Vilka m kan skrivas m=a2+b2
• Det svåra idag är en metod kallad Fermats
nedstegsmetod
Aritmetikens fund. sats
Produkt av andra tal
Goldbachs hypotes
Summa av två primtal
4=2·2
6=2·3
8=23
9=32
10=2·5
12=223
14=2·7
…
De sammansatta talen
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=5+5
12=5+7
14=7+7
16=3+13
…
Alla de jämna talen, tror man!
Idag: Vilka kan skrivas som summa av två kvadrater?
Börjar med m=p, ett primtal
Vilka primtal kan skriva som summa av två kvadrater?
2 = 12+12
3=
5 = 22+12
7=
11=
13= 32+22
17= 42+12
19=
…
Påstående
Sats
Om p är ett udda primtal gäller att
p=a2+b2 ⇔ p ≡4 1
Vi måste ni visa två riktningar
Vad är mönstret?
p=a2+b2 ⇒ p ≡4 1
och
p=a2+b2 ⇐ p ≡4 1
1
Första riktningen
Del-sats p=a2+b2 medför att p ≡4 1.
Bevis
• Antag att p udda och p=a2+b2 . Då måste exakt en av a
och
h b vara udda.
dd
• Låt a=2n+1 och b=2m. Vi får då att
p = a2+b2 =
= (2n+1)2+(2m)2 =
= 4n2+4n+1+4m2 =
= 4(n2+n+m2)+1
≡4 1
Fermats nedstegsmetod
Andra riktningen
• Givet p ≡4 1 hur visar man att p är en summan av två
kvadrater
• Vad vi om sådana tal? Jo, att -1 år QR i Zp, dvs det finns
tal A så att -1
1 ≡p A2
• Mao A2+1 = A2+12 = mp för något m.
• Vore m=1 vore vi klara.
• Vi skall nu visa Fermats nedstegsmetod för att minska m
tills m = 1.
Uppgift 26.4
• Givet A2+B2 = Mp
• hitta A1 och B1 så att A12+B12=M1p och M1<M.
• Sedan upprepar man detta tills man kommit ner till Mi=1.
• Börjar med ett konkret exempel …
Först en likhet
Sats (Brahmagupta-Fibonacci)
(u2+v2)(A2+B2)=(uA+vB)2+(vA-uB)2
Bevis
Multiplicera ut bägge led och jämför.
Slutsats
Produkten av två tal, som är var och en är summor av två
kvadrater, är själv summa av två kvadrater.
Fermats nedstegsmetod
• A2+B2 = Mp där p odelbart och M<p.
• Bilda u ≡M A och v ≡M B -M/2 ≤ u,v ≤ M/2
• Då är u2+v2=M1M för 1≤ M1 < M eftersom
– u2+v2 ≡M A2+B2 ≡M 0 dvs u2+v2=M1M för något M1
– 0 ≤ M1 =(u2+v2)/M≤ ((M/2)2+(M/2)2)/M = M/2 < M
– om M1=0 vore u=v=0, dvs A ≡M B ≡M 0 dvs A2+B2 ≡M2 0 dvs M|p,
men eftersom p odelbart och M<p måste då M=1 och vi vore
redan klara.
• Bilda A1=(uA+vB)/M och B1=(vA-uB)/M.
– Heltal ty uA+vB ≡M A2+B2=Mp ≡M 0 och vA-uB ≡M BA-AB ≡M 0
• A12+B12=M1p, där M1<M
– A12+B12=((uA+vB)/M)2 + ((vA-uB)/M)2 = (u2+v2)(A2+B2)/M2 =
(M1M)(Mp)/M2 = M1p
• Upprepa tills Mk=1.
2
Slutsats och fortsättning
p=a2+b2 ⇔ p ≡4 1
Vad gäller för sammansatta tal?
Sammansatta tal
• Om p och q kan skrivas som summor av
två kvadrater så kan pq också göras det,
enligt Brahmagupta-Fibonacci.
Slutsats
Om m=k2p1p2..pk, där pi ≡4 1 och alla olika
så kan m skrivas som en summa av två
kvadrater.
Pytagoreiska trippler
• (a,b,c)=(u2-v2,2uv,u2+v2)
• Hypotenusan måste vara på formen
c=kk2p1p2..pk där
dä pi ≡4 1 eller
ll pi=2.
2
Generaliseringar
• Vilka tal kan skrivas som summa av tre kvadrater?
– 2 = 12+12+02
– 3 = 12+12+12
– 5 = 22+12+02
– 7 = går inte
– 11= 32+12+12
Kan du finna något mönster?
• Vilka kan skrivas som summa av fyra kvadrater?
– 7=22+12+12+12
– alla tal kan skrivas som summa av fyra kvadrater.
3
