dats_2008-12

!#"!$!%'&(&*)!+!
,.-0/2143514687914:;=<><>?
@BADCFEGHJI KMLONPRQ.I KML
@BSTVUXWZY\[]C_^'G`2acbXad[fehgji.klad[dm!LjnZK5oZNpK\qVPdq5H5LrsCFTJTVY\TtPRLJI KML5ucIwvyY\x zZYMT|{~}J[E.adTmL4nZK5LZN
nMnMQ\H4n5nMn5njmM.4b]Y\>YMT{k5 [XadTVUsk rYZbXad[!PdLVI K5L5ucI
@BfYZ'=Y\ TJ^9Yx bXadT4b]Y\adTGoMLVI
@B{~acblgj^5UX^M[Y\ TVUXa[Rm4~AvOGjKQ\qOm.qKMomJ#|q5H!mV!GJQ\qOm.hq5HOI
@BvkYM _JaRE.a ¡G~¢J£\¤=¥Z¦¨§\©«ª¬R¤=£!YMT4bXadzjTJCFTJ^4Y\[D9Yfx ®®Shq\N¯iJ FY5EI9fYMTY\x [UXz4[]CFWY#9Yx iYMx EJY
U¨C°E.5[XTVYy.fbXajbXaT±0YMx U¨bXa#zj}JTJTVY ¡Y5 UXY5U
}.b]YMTf¨M [U¨bXM[]CFTJ^5UX^M °YMUdIST4bXaRz4TVC_TJ^4Y\[U¨5
C_T4b]a}JJ.sgj F _ad[E.acbXb]Yzj[]YWz5Ma[Y\b¨bi'aRU¨ °Y\^Mb]Y5U²
³ M []a ¯YM UXTJC_TV^5U]Y\T4bXaRz4TVC_TJ^4Y\[5EJY\b]Y5Ulb][X}Jz4b]}J[Xad[DCvhYMUXzMad _ ¡mJYWy{~[]M[{kla[]TJa[
@´jzj[XCFWblg.E. FC_^MbjE.C°UX'5TJa[YO'Y\J=a[]acb9Y#x ab¨b ¯Y\ J FC_^MbhUdY\ b¨bdI
@B{M [k¨YOWZY\[klaTjgy}JJV^MC_b9Y#x T4g4bXbiJ FY5EI
@´jzj[XCFWadTVEJYMU¨b9Y#x aTUXCFEJYYW'Y\J=a[]acbRI
@Bµ¶'·¹¸»º
½J¼ ¾¿DY\ F °Y#UXWZY\[UXzY#\b]C_W5a[YMU~WY\ ¡²
@B`2'YM TJ^5YW.E.[Y\^zZYMT
^5adU>¨5 [MT5 E.CF^\b Y\x TJ^4YJmz5MJ FCFa[YME.a2ad _ Fa[4Ulb][X}Vz5b]}J[]a[YME.a ¡4 U¨TVC_TJ^4Y\[RI
@BÀg.zZY!b]C_ F ¡²
P
PMIST4b]YM^Y\b¨b!E.} URYZ bXbXad[CFT ad _adaT4bXadT qVmKVmQ.mPMmyacbXb
abXa[ab¨brsCE.adTJTVYM[E.TJCFTJ^4uC
¨M k¨Y\TVEJaEVYZb]Y5Ulb][X}Vz5b]}J[]a[rsVYU¨b]YMTVEJY\[EJYM _^5M[]C b]#ad[XT'Y¨M [CFTVURYZ bXbXTJCFTJ^4u
r»Y4uYMTJ _CF^\biVC_TYM [¨bURM z4bX[YM Em.}.b]YMTiVYM FYMTVUXa[]C_TJ^'I~r¨P'u
rsi'ujV FYg4bX[YM EIDrK\'u
r»du±r¡Q.m q4u¯N¡bX[YM EI M C_9YMx ^Y\b¨bCE.aRUXU]Yb][RY5 E 'Y\[Y\ F FYCFTJ[XaTJ.E.ad[#ad _ °Y\T0Q. q
iVYM[XTI2Sh _ °Y ¯M W _CF^M^5a[9YOx UXYM#YEkl}VyU5Yx bX[YM E.abY\ [=a[Xsaz4b9i'Y\ °Y\TVUXa[YZbRIY\[kla
TJ.E# °Y\^M[Y\[a F FYMTPD.K
a FaadT5bRm\.!b][RY5 E.acbVYM[adT#URM z4b][RY5 EJU¨ad^MadTVU¨zZYMOU¨5
^5aTJad[]YM _C°U¨ad[]YM[~EJacbiJCFTY\ [Y#Ud5 z5b][RY5 E.acbUIrK\'u
r»EVuvhadY\ r»aT0WZY\TV _CF^iJCFTY\ [ ¨C_TJN¡JaRY\ UXM FYM^M[Y\[C_T'UlbYa FaaT4bXabC[]\b]aT'ucI
rK\'u
C_b]Yj}J[hbX[YM E.adTi4gj^5^5U}JVfUlb]a^¨5 [U¨bXa^yacbXad[hWZY\[kla!CFTVURYZ b¨b]TJCFTJ^.¨M []zj FYM[]Y#WZYME
U¨5 YM TVE.a[R² rY5u~[YM z5a[DE.acbhE..zyY\b¨bhE.}[]C bY\[E.abhU¨ F}.bX^5C_ _bXCF^5Y#iJCFTYM []Y#Ud5 z4bX[YM E.abdI
Q.ISWj^'5 [MWYM[¨bjab¨bYWy¨M k¨Y\TVE.aYMx U¨b4Y\x adTVE.adT8YM [hU]Y\T4ba F _ad[»Y\ °UXz5bR
² 9TVEJY5UlbhUXWZY\[
adEzM5[X[]az4bMbXCFWMa[]CFTJ^^M.Ejb]YM^MaRUI
r»Y4u aTY\ F^M5[XC_bX 'Y\[E.adTY5U¨gj.b]\bXC°UXzYz5MJ Fac.C_bXacb]aT rlPuU5Yx bY\[9E.adTY\ F b]CFE
FC_zZY Y\x TJ^#b]CFEYZbXbac.azjW5a[Y!5YW.UXacbXbDCFTVEJY\b]YVIDr¡QZ'u
rsi'uvc k¨E.adTYx acb¨biVC_TYM [¨bURM z4bX[YM EyadE TVjEJa[!Y\ [YM _ _bXC°E rs FM^ ucIrQ\'u
r»dueacbh^=Y\ F _ad[Y\ F b]CFEYZbXb rs FM^ u
rs FM^ u«Ir¡QZ'u
r»EVuvc k¨E.adTYx acb¨bOr¡Q.m q4upNb][RY5 EyUXM °Y\^5[]YM
[ a FaaT4bOYM [Y\ F b]CFE rs FM^ u«IrQ\'u
rsaRufYMT´zZYMT UXM[XbXad[]Yab¨b¨YM b9Y x bXC°E.aT r FM^ uOCaRE.a _b]YM ^MaTVM YZbXb¨M [Ulb
URYZ bXb]YCFTE.aacb¨bacbXad[acbXb9CVadTU¨zjCFJJ FCFU¨b]YVmM.U¨aREJY\TJ F.zY
}.b~E.aCJM[E.TJCFTJ^
s[jY\x T}JTVEJa[UlbY[YMEJaTyCU¨zjCFJJ FCFU¨b]YMTIrQ\'u
KJIwr»Y4u ³ M k¨Y\T'E.aJ[]M^M[Y\tVYM[U¨5 CFTVEJYZbYacbXb¨Y\ _byYWJad bY\ ¡I
!
#"$%
&(')*#$%
+-,$!+/.. $
"0"$. %1
&2'3465784,2#9:4.. "$#"$.
<
' ='0"
;4
C_ FzMadT Y\ [ N¡z5MJ Fac.C b]acb]aT0J4U!J[]M^5[]YM³ #ab!}.b¨b][Xg.z4b#UXM s}JTJz4bXCFMT´YW m
¯Y\ TJ^4E.aTV5UCFTVEJY\b]Y\¨Y\ _bXacb?>\b]C_W5a[YJ² 5 [s}J F '='YM TJ^OUXzZY N¡z5MJ Fac.C_bXacb]aT
WZY\[Y#aT XUXzZY\[]!}VJVUXzY\b¨b]TJC_TV^VIhrK\'u
rsi'u ³ M k¨Y\T'E.aJ[]M^M[Y\tVYM[U¨5 CFTVEJYZbYacbXb¨Y\ _byYWJad bY\ @$A=I
B &C/D
* 1E AF(
!
$G IH A 1
&(')*4J%
:4, A :4.. GK4%
&(')*#$%
+-,$!+/.. GK L/..1
&(')*4J%
:4, A :4.. $
6M%N
H OG;4P% (
LQ..-4
GK;42?RRN
<
<
' ='!
<
C_ FzM adTfY\ [9YM _^5M[]C b]#adTVU ³ N¯zMMJ Fac.C_bXab9}.b¨b][Xg.z4b9UXM s}VTJz4bXCFMTyYW¨YM b]acbU9U¨bXM[XN
Faz .S A?>MbXCFWMa[YJ² 5 [s}J _ .='YM TJ^UXzZY N¯zM5J _a.C b]acbXadTOWZY\[YaT ]U¨zZYM[X
}JVVU¨zZY\b¨bXTVC_TJ^'Ihr»KM'u
r»du Sh [E.acbzM5[X[]az4bYZb¨bJ[]M^5[]YM#abUXM[XbXad[]YMT[ ?> (k¨YJm~\bXCFWMad[]YV² TJa¨kcm
FMzZY\ FC°U¨ad[]YOsa FacbR²hrsq5'u
qVI ³ M k¨Y\TVE.a^5[]YMTJTJYZb][XC°U~[XadJ[XaRU¨adT4bXa[Y\[~aTWjCFz5bYMEM[]C_z4bYME^5[]Y\lI
G
R
G
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
5
5
R
AYM _adTCVYZb][XC°U¨adT[XadJ[XaRU¨adT4bXa[Y\[2i9YMx ^5YM[XTVY5UW4CFz4bXad[dIbXbUlb][XaRzrsNpu2i=acblg.E.ad[9YZbXb9i9YMx ^MaT
UXYMzjTVYMUdI
r»Y4u C_b]Y^5[]Y\saT²Y\ b¨b}.bWjCFz4bXa[]TVY#9Y#x i9YMx ^5Y\[]TVYVI~r¨P'u
rsi'ufYMT8zYMT±YMTjW>YM TVEJYeC klz.U¨bX[YMUY\ F^M5[XC_bX(¨5 [!YZbXb VTJTVYz5M[Xb]YMU¨bXa#WY\ ^5aT ad _ °Y\T
b]W2Yx TJ.E.ad[hC2aT ^M[YZlI
.M(C2 FYMi KWjCF _ Y\T Mb]Yyi9YMx E.aWMab]YWjCF _zZYyTJ.E.a[U¨5
FC_^5^Mad[O9Y x E.aT z5M[Xb]Y5Ulb]aW>YM ^MadT0jB4}V[O Y\x TJ^fWYM ^MaT YM [rE.W.UUX}JY\TBYW8E.a
CFTJ^YMx aTVEJai9YMx ^5YM[XTVY5UWjC_z4b]a[«u«I {~adUXzj[XCFW8C~5[]E 4}V[eC klzjU¨bX[YMU#Y\ F^M5[XC_bX ^=M [¨M [
Y\b¨bOi=a[Y\ zjTVYE.aRUXU]YbXWYx UXYMzMad[dIfreh}8YMx [!E.a F'=Y\ TJ^5 E.}8iVYM[]YzZY\T8i=a[Y\ zjTVY
¯Y\ TJ^4E.aT aT CFT4bXaTJ.E. _C°U¨b]Y\TI u±e} i=a5 WMa[
CFT5b]a^5a!s}J F °UlbY\ TVE.CF^VU¨ad}VE.5zM.EN
E.ab[RY5 zMa[M*EJ}¨M []zj FYM[]YM[9WjCF _zZY#EJYZbYMU¨bX[]}Jz4bX}J[]a[DE.}Y\TjWY\ TVE.ad[.y¨M []z4 °Y\[Y\[
TJ5^M^5[]YMTJT4b~WjCF _z5aT[X5 _ E.a!UX=a °Y\[}JTVEJa[i=a[Y\ zjTJCFTJ^MadTIrsqM=u
r»dueC klz.U¨bX[YMU#Y\ F^M5[XC_bX Y\[]i=acb]YM[U¨bXad^MWjCFUdI CFU]Y 4}V[#YM _^5M[]C b]#adT8s}JTJ^5a[Y\[O^5aTJ5
Y\b¨bWjCFU]YhWjCF _zZYa F FYMTJ[XaRU¨}V bYZbrbXCF F FU¨b4YMx TVEOV5U2EJYZbYMU¨bX[]}Jz4bX}J[]a[]TVY4uUXM eC klz.U¨bX[YMU
YM _^5M[]C b] r»aTJ FC_^Mb
E.CFT i=adUXzj[XCFWjTJCFTJ^ZWZY\T'u FYM^M[Y\[¨5 [
Y\b¨bzj}JTVTVY[]acbX}V[XTJad[]YyE.aT
z5M[Xb]YMU¨bXa
WY\ ^5aTjE.adTJTVYWY\ ^4U ¯Y\ TV^5E#ad _ °Y\TS|. ³ C^M[YZsadTZWZYMTIr»K\=u
r»EVu Sh [E.abC5YM _ FY\ TJJab ¯Y\ J FC_^MbYZbXbY\TjWY\ TVEVYadT^M[Y\TJTVY\bX[]CFU=¨5 [YZbXb[]aJ[]adUXaT4bXad[]Y
adT^5[]Y\VTY\ [2Y\TC_J FaadT5b]a[Y\[eC klz.U¨bX[YJ²Y\[X¨M [a F _ad[WZYM[¨¨5 [CFT4bXQa >f\bXCFWMad[]Y
adEZkYM _YW N¯zM5J _a.C b]acbXad[dIr¡QZ'u
.I FY5UXUXaT ''C"/ C4YWZY#M F Fad«b]C_5TVU~zZY\Ty °Y\^5[]YO^M.Ejblg.zj _CF^\bDUlb]M[Y! FCFU¨bX5[dI2vOYM [Y\ [
acbXb}.b]E.[Y\^}J[i=adUXzj[XCFWjTJCFTJ^MadTYWzj °YMU]U¨adT
aRU¨C dYMiJ FacNpY\[][]Yg CFJ FaaT4b]Y\bXCFMT M!bXVa F"Q CFT5b]a[X»YMaMI*IFIFIADJa
"
NE 2" E E " E Q '2?&2' EY\TV#
E "/Q '(?&2' 5'ad[]Y\N
b]C_5TVUy[]}JTCFT c5TVU¨b]Y\T4bb]C_a5I ADJa Y5EJE M=a[YZb]C_5T [X}JT'UyCFT Y\M[XbXC aRE
MTVU¨b]YMT5b
bXCFaMmIFI_I YM: ''F"/ CFTVU¨b]Y\T'caO'YMUYydY\VY5cC_blgMIADJaYZN
VY5cC_blgCFUbXJaU¨C ah\bXVaY\[][YgO}VUXadE#b]U¨bXM[]ab]Jahad _ad#adT4b]UC_Tb]Jah FC°UlbRI ¯b
C°UY\ ~''Yg.U
FYZb"/ _ aRYMU¨b
YMU
°Y\[]^MaOY5UbXJa# _C°U¨bUXC daMI!SUa FaaT4b]UYM[Xa#YMEJE.aREb]
YMT
mMC_b]UdY\VY5cC_blg^M[] U~YM}.bX5YZbXC°YM _ FgMI
r»Y4u ³ M []zj FYM[]Y±i=acblg.E.ad FUXaT YW XADJafY5EJE M=a[YZb]C_5T []}JTVUC_T YM#5[¨b]C dadE c5TVU¨b]Y\T4b
b]C_a V²rQ\'u
rsi'uCFU]Y j}J[Y\T´ ¡YM J _CF^MadTBzZY\T´C_J FaadT5b]a[8Y ''F"/ ^MadTJM Y\b¨bU¨zj[]C_WZY
adTfzj FY5UXUC 4YWYad _ Fa[CEJacb]YM klad[]Y5EVUXa}VE.5zM.EIeacb[YM z5a[5 E.} W4C°U]Y\[WjCF _zZY
b]C_ F FU¨b4YMx TVEJUXWZY\[]CFYMiJ _ad[ r Vad FEJU 5uY\T i=a5 WMad[U]Y\!b4}V[Y\T C_J FaaT4b]a[Y\[
¨5 k¨YMTVE.a~M=a[YZbXCFMTVa[i=adUXzj[XCFWjTVYC XMTVU¨bX[]}V«b]M[U¨}JY\[]g . ¨abXJ.E!UX}J#N
Y\[]g JG
CKI ''F"/1 2N5TVUlb][X}'«b]U2YMTOa.blg FC°Ulb C b]#YMTOCFTJC_bXC°Y\ .YMVYMC blgMJbXadTI
CFCI 10?D N abX}J[]TVUhbXJa!ad _adaT4b
Y\bbXJaU¨=adC VaRE=5UXC b]C_5TC_T
b]JC°U _C°U¨bdI
C_CFCI B &C/DDDN J& NSJ=aTVEVUbXVahU¨=adC 'adE#a FaaT4bb]bXJaadTVE\=bXVCFU9 _C°UlbRI
CFW=I B &C/DDDN ?D E N pTVUXa[Xb]UDb]JaOUX'aRcC VadEad _ad#adT4bhYZb
b]Ja!UX'aRcC VadE=5UXC b]C_5TCFTbXJC°U FCFU¨bdI
rH\'u
oJI TC_TJN¡YZjN¯JadYM0Y\ [aTfEVYZb]Y5Ulb][X}Vz5b]}J[adEa=adz4bXCFWYabX.E.a[i9YMx EJa¨M [hY\b¨bbY}.b
C_TVU¨b]Y
.U¨bR5 []U¨b]Ya FaadT5b]acbC.aTEJY\b]YMU]Y\ FC_TV^VI`9[XaRcC°UUXM aT#WYMTJ FC_^
JadYMYM [E.aT
acbXbhs}J F FU¨bRYM TVE.CF^\bhiVC_TYM [¨bhbX[YM E0r ]c5#V _abXa!iJCFTVYM[XgybX[]aa 4u«m'#adTfa FaadT5b]aTCaTCFT.N
YZjN¡VadY\´Y\ [M[E.TVY5E.aO9Yx acbXb!Y\TJTVY\bURYZ bXbdIOSh _ °YTJ.E.a[UXMw FC_^5^Mad[9YOx kY\ T4bEkl}J
rsajad'ad _WjC°U9[]\b]aT'u2'Y\[9Tjg.zj FYM[U¨5wY\ [CFTVE.[]aY\ Tfr»a F _ad[9 FC_zZYO#aREVuUXCFTVYYZ bXbX FC_TV^5Y\[Rm
adEJYMT#YM _ °Y
TJ.E.a[UXM FCF^M^Mad[29Y
x }VEJEJYEkl}V#'Y\[URM zjTjgjzj °Y\[2U¨5*Y\ [U¨bR5 [X[]a
YM Tr»a F _ad[
_CFzZYadEVu9U¨CFTVYYZ bXbX FC_TV^5Y\[RIr TfY\ b¨bX FCFTJ^bXCF F VTJ.E.adT ±YM [aTTJ.EUXM VTJTVU9CVE.a _bX[YM EJacb
adE[XMbXadT I u
r»Y4u C_b]YadT C_TJN¡YZjN¯JadYM UXM(C_TVTJa9YMx _ Fa[ad _ad#adT4bXaT´PMm Q.m KJm qVm .m oJm njm HJm JmFPdLV² i.N
UXa[]WMad[]Y#YZbXbEJacb VTJT'U0Y\x TJ^4Y#U4YMx EVY\TVYC_T.N¯YZjN¯JadYMVY\[RI~r¡QZ'u
rsi'uvh}J[CFJ FaaT4bXad[]Y5UM=a[YZb]C_5TJaT UXM []acbX}V[XTJad[]YM[E.acbUlbM [UlbYa FaaT4b]acb
C#CFT.N¯YZjN¡VadY\=aT r»}.b]YMT YZbXbb]Y0i=M[XbyE.abOu > hCF _z5aT Y\ [E.aT Y5U¨gj.bXMbXC°U¨zZY
b]CFEJUXzM5J _a.C b]acbXadTJ5U >IDrK\'u
r»duvh}J[OCFJ _adaT4bXad[]Y5U!M=a[YZb]C_5TJaT D UXM b]YM[!i=M[XbE.D acb#C_TVU¨b]Yf a FacN
aT4b]acbC9aTB#CFT.N¯YZjN¡VadY\F >thC°UXY [XaRU¨}V bYZbXabYW8YZb¨b}.D b¨¨5 []Y 9Y x
CFT.N¡Y\4N¯JaRY\=aTC9r»Y4u«IShUXgj.bXMbXC°U¨zzMMJ Fac.C_bXabDV5U 2 > rZ=u
eh} UXzY i'aRU¨zj[]C_WZY C_J FaadT5b]a[]C_TV^5Y\[]TVYY\ [##aREB\kY\ F´YW8VUXa}VE.5zM.EI r 5YWZY\z5.E
YMdcaJbXa[YMU~.z.U5YVx I u
iVUXa[]WMa[YhY\b¨b9CJbdI acI
A YM [JaRY\VYM[aTEJYZbYMU¨bX[]}Jz4bX}J[2¨5 [ Fac.C_zZYEYM [Y\T FYM^M[Y\[
VY\[YWyURM zjTjg.zj FYM[.a FaaT4bdIfaTYMTzYMTy¨5 []U¨b4Y5x UY\ WMadT °Y\^5[]YEJYZbYMU]Y\ FC_TJ^4Y\[
EY\ [URM zjTjg.zMad _T.a FaaT4b]acbOY\ [U]Y\YUXYMz>I
Tentamen
Datastrukturer D
DAT 035/INN960
(med kortfattade lösningar)
19 december 2008
• Tid: 8.30 - 12.30
• Ansvarig: Peter Dybjer, 0736-341480 (innan 10.30). Håkan Burden, 073077287777, och Staffan Björensjö (after 10.30).
• Max poäng på tentamen: 60.
• Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 = 48 p, GU: G = 24 p, VG = 48 p.
• Hjälpmedel: handskrivna anteckningar på ett A4-blad. Man får skriva på båda
sidorna och texten måste kunna läsas utan förstoringsglas. Anteckningar som
inte uppfyller detta krav kommer att beslagtas!
Föreläsningsanteckningar om datastrukturer i Haskell, av Bror Bjerner
• Skriv tydligt och disponera papperet på ett lämpligt sätt.
• Börja varje ny uppgift på nytt blad.
• Skriv endast på en sida av papperet.
• Kom ihåg: alla svar ska motiveras väl!
• Poängavdrag kan ges för onödigt långa, komplicerade eller ostrukturerade lösningar.
• Lycka till!
1
1. Antag att du sätter in elementen 4, 3, 2, 1, 5 ett efter ett (i denna ordning) i
följande datastrukturer (mha standardalgoritmerna för insättning)
(a) Vanligt binärt sökträd, utan balansering. (1p)
Svar:
4
/ \
3
5
/
2
/
1
(b) Splayträd. (3p)
Svar:
4
3
\
(zig 3-4)
4
2
\
3
\ (zig 2-3)
4
1
\
2
(zig 1-2)
\
3
\
4
5
/
2
/ \
1
4
/
3
(zig-zig 5-4-3 + zig-zig 5-2-1)
(c) (2,4)-träd. Kom ihåg att i dessa träd har alla inre noder mellan 2 och 4
barn. Alla löv ligger på samma djup så trädet är perfekt balanserat. Varje
nod lagrar mellan 1 och 3 element, och trädet har en sökträdsegenskap som
generaliserar det binära sökträdets. (3p)
Svar: Först sätter man in de tre första elementen i rotnoden. När man
sedan sätter in det fjärde elementet får man overflow i rotnoden:
1,2,3,4
Alltså splittrar man den och får
2
/ \
1 3,4
(Man kan också lägga 3 i rotnoden, osv.) Slutligen får man
2
/ \
1 3,4,5
(d) Heap (en vanlig binär “min-heap” som lagrar minsta elementet i roten).
(3p)
Svar:
4
3
/
4
(bubbla upp 3)
2
/ \
4
3
(bubbla upp 2)
2
/ \
4
3
(5 hamnar på rätt plats från början)
/
5
Rita hur träden byggs upp steg för steg efter varje insättning och förklara vad
som händer! I (a) räcker det dock att du ritar det slutgiltiga binära sökträdet.
2. Avgör om vart och ett av följande påståenden är sant eller falskt! Endast svar
med korrekt motivering godtages.
(a) Om en algoritm har den asymptotiska komplexiteten O(1) så tar den alltid
lika lång tid att exekvera oavsett indata. (2p)
Svar. Nej, O(1) betyder bara att det finns en konstant C så att T (n) ≤ C
för alla n < n0 . Av detta följer inte att T (n) = C för alla n för någon
konstant C.
(b) Höjden på ett binärt sökträd med n noder är alltid O(log n). (2p)
Svar. Nej, höjden på ett binärt sökträd kan i värsta fall vara O(n) om
det är helt obalanserat.
(c) Det gäller alltid att O(log2 n) = O(log4 n). (2p)
Svar. Ja, eftersom log2 n = 2 log4 n så gäller att om T (n) ≤ C log2 n så
T (n) ≤ 2C log4 n och om T (n) ≤ C log4 n så T (n) ≤ (C/2) log2 n.
(d) Höjden på ett (2,4)-träd som lagrar n element är alltid O(log n). (2p)
Svar. Ja. Värsta fallet är när varje nod bara lagrar ett element och alltså
är ett binärt fullständigt balanserat träd. Ett träd med höjden h då lagra
n = 2h+1 − 1 element. Alltså är 2h ≤ n, dvs h ≤ log n. Så h är O(log n).
(e) Man kan sortera ett fält på tiden O(n log n) i medeltal genom att först
sätta in elementen i fältet ett efter ett i en skipplista, och sedan plocka ut
dem i ordning från understa raden i skipplistan. (2p)
Svar. Ja, den understa raden i en skipplista är sorterad. Varje insättning
tar O(log n) i medeltal och varje utplockning tar O(1). Insättningarna
kommer alltså att dominera tidsåtgången vilken alltså blir O(n log n) i
medeltal.
3. (a) Följande program har som indata ett fält A av heltal.
int f(int[] A) {
int n = A.length;
int s = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
s = s + A[0];
for (int j = 1; j <= i; j++) s = s + A[j]
}
return s
Vilken är O-komplexiteten hos programmet uttryckt som funktion av n,
längden hos indatafältet A? Motivera! För full poäng ska O-komplexiteten
vara en “skarp” uppskattning. (3p)
Svar. Den yttre loopen körs n gånger och den inre loopen körs 0 + 1 +
· · · + (n − 1) = n(n − 1)/2 gånger. Eftersom varje tilldelning till s tar O(1)
kommer den totala exekveringstiden av den inre loopen att dominera och
vara O(n2 ).
(b) Följande program har som indata ett fält A av heltal < N.
void f(int[] A, int N){
int n = A.length;
int[] B = new int[N];
for (int j = 0; j < N; j++) B[j] = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) B[A[i]]++;
for (int j = 0; j < N; j++) {
int i = 0;
while(B[j] > 0){
A[i++] = j;
B[j]--;
}
}
return;
}
Vilken är algoritmens O-komplexitet uttryckt som funktion av fältets storlek n och N? Motivera! För full poäng ska O-komplexiteten vara en “skarp”
uppskattning. (3p)
Svar. Den första for-slingan tar O(N), den andra O(n) och den tredje
O(N + n), eftersom den körs N gånger och den inre while-slingan tar O(n)
totalt. Alltså blir den totala tidsåtgången O(N + n).
(c) Är det korrekt att programmet sorterar A? Om ja, motivera! Om nej,
lokalisera felet! (4p)
Svar.
Programmet ifråga är nästan “counting sort”, en variant av
“bucket sort” där man sorterar heltal genom att räkna antalet förekomster
i indatafältet. Det har dock smugit sig in ett fel, genom att variabeln i
nollställs varje gång i den tredje slingan. På grund av detta kommer t ex
A[0] att skrivas över varje gång while-slingan påbörjas. Om indata fältet
exempelvis är 1,2 kommer det att bli 2,2 efter exekveringen. I stället ska
i initialiseras utanför while-slingan.
4. Följande grannmatris representerar en viktad oriktad graf.
A
B
C
D
E
F
A
-
1
4
5
-
-
B
1
-
2
-
2
-
C
4
2
-
5
6
4
D
5
-
5
-
-
2
E
-
2
6
-
-
6
F
-
-
4
2
6
-
Talen i matrisen representerar bågarnas vikter. Ett streck (-) betyder att bågen
saknas.
(a) Rita grafen! Sätt ut vikterna på bågarna. (1p)
(b) Man kan använda Dijkstras algoritm för att finna kortaste vägen mellan
två noder i en graf. Som i lab 3 vill man ofta både veta vilka noder som
ligger på den kortaste vägen och hur lång vägen är (dvs summan av de
ingående bågarnas vikter). Beskriv i ord hur Dijkstras algoritm gör för
att beräkna dessa två saker. (Du får delpoäng om du bara kan beräkna
längden men inte nodlistan.) Du behöver inte ge fullständig pseudokod det räcker om du förklarar vilka datastrukturer du använder och förklarar
noggrannt vilken roll de spelar under beräkningen. (4p)
Svar. På sid 587 i G & T finns pseudokod för en version av Dijkstra
som bara beräknar längden av kortaste vägen från en given nod v till
en godtycklig annan nod u. (Ett fullgott svar på tentan kräver att de
viktigaste idérna bakom denna pseudokod beskrivs klart.) Observera i
synnerhet att algoritmen använder sig av en prioritetskö Q som bestämmer
i vilken ordning algoritmen “besöker” de olika noderna i grafen och ett
avstånd D[u] av den kortaste vägen från den givna startnoden v till u.
Om man dessutom vill returnera en lista med noderna på den kortaste
vägen från v till u lagrar man för varje nod u inte bara längden D[u] av
den kortaste vägen från v till u utan även den nod P [u] som kommer innan
u på denna kortaste väg. Från början sätter man D[u] till oändligheten och
P [u] till en nollpekare. Sedan uppdaterar man både D[u] och P [u] med allt
kortare avstånd och vägar efterhand som man besöker nya noder. Dijkstars
algoritm som den beskrivs i boken terminerar när man besökt alla noder.
Då kommer D[u] att vara den korrekta längden av den kortaste vägen och
P [u] att vara föregångaren till u på denna väg.
När Dijkstras algoritm används för att beräkna kortaste vägen mellan två
givna noder v och u kan man terminera algoritmen efter det att u besökts.
Man kan då ge som utdata längden D[u] och vägen u, P [u], P [P [u]], . . . i
omvänd ordning (denna väg kan förstås dessutom reverseras om så önskas)
(c) Dijkstras algoritm arbetar stegvis. Visa hur algoritmen fungerar genom
att visa vilka mellanresultat (tillstånd hos datastrukturerna) som Dijkstras
algoritm (enligt din beskrivning ovan) lagrar för att kunna returnera den
kortaste vägen och denna vägs längd mellan A och F i grafen ovan. (3p)
Svar. Vi visar efter varje besök av en ny nod tillståndet hos prioritetskön
och värdena på D[u] och P [u] för alla noder u i prioritetskön.
A
B
C
E
D
F
(B, 1, A), (C, 4, A), (D, 5, A)
(C, 3, B), (E, 3, B), (D, 5, A)
(E, 3, B), (D, 5, A), (F, 7, C)
(D, 5, A), (F, 7, C)
(F, 7, C)
Första raden betyder alltså att när vi har besökt A så ligger B först i Q
med D[B] = 1 och U [B] = A, osv.
(d) Är det i allmänhet lämpligt att använda en grannmatris för att representera
en graf när man implementerar Dijkstra! Varför eller varför inte? Motivera
med hjälp av O-komplexiteter. (2p)
Svar. Nej, det är i allmänhet lämpligare att använda grannlistor. Varje
gång en nod u besöks går man genom dess grannar och uppdaterar D[u]
och P [u]. Om man använder en grannmatris måste man gå genom alla
noder i grafen för att finna dessa grannar. Om man däremot använder
grannlistor finns us grannar direkt åtkomliga. Totalt behöver man alltså
under exekveringen inspektera grannmatrisen O(n2 ) gånger om det är n
noder i grafen men bara inspektera grannlistorna O(m + n) om det är m
bågar i grafen. Om inte grafen är “tät” eller liten är grannlistan alltså klart
bättre än grannmatrisen. Ett annat men oftast mindre viktigt argument
är att grannlistornas utrymmeskomplexitet O(m + n) också är bättre än
grannmatrisens O(n2 ) om inte grafen är tät.
5. Klassen ArrayList i Java Collections kan lagra godtyckligt stora listor. Här är
ett utdrag ur beskrivningen av klassen
Resizable-array implementation of the List interface. ... The
size, isEmpty, get, set, iterator, and listIterator operations run in constant time. The add operation runs in amortized
constant time, ... Each ArrayList instance has a capacity. The capacity is the size of the array used to store the elements in the list. It
is always at least as large as the list size. As elements are added to
an ArrayList, its capacity grows automatically.
(a) Förklara betydelsen av “The add operation runs in amortized constant
time”! (2p)
Svar. Det betyder att tiden det tar att utföra n add-operationer i följd
efter varandra är O(n), dvs i mdeletal tar var och en av dessa operationer
O(1).
(b) Visa hur man lämpligen kan implementera ArrayList genom att skriva
en klass i Java eller i detaljerad pseudokod. Det räcker om du visar vilka
tillståndsvariabler (“fields”) man behöver samt hur man implementerar
följande operationer beskrivna i “constructor summary” och “method summary”:
i. ArrayList() - Constructs an empty list with an initial capacity of ten.
ii. E get(int index) - Returns the element at the specified position in
this list.
iii. void add(E o) - Appends the specified element to the end of this list.
iv. void add(int index, E element) - Inserts the specified element at
the specified position in this list.
(8p)
Svar.
public class ArrayList <E> {
// Elements are stored in es, with current
// capacity available as es.length
private E[] es;
// The number of occupied entries in the es array.
private int size;
public ArrayList(){
// The initial capacity is 10, as specified
es = (E[])new Object[10];
size = 0;
}
public E get(int index) {
// Check that the index is valid
if (index >= size || index < 0)
throw new IndexOutOfBoundsException();
// Get the element directly for the array
return es[index];
}
public void add(E e) {
// The position size is after the last object
add(size, e);
}
public void add(int index, E e) {
// Check that the index is valid
if (index > size || index < 0)
throw new IndexOutOfBoundsException();
// Double the capacity if no more room
if (es.length == size) {
E[] news = (E[])new Object[2*size];
for (int i = 0; i < size; i++)
news[i] = es[i];
es = news;
}
// Shift elements to make room for the new element
for (int i = size; i > index; i--)
es[i] = es[i-1];
// Insert the new element and increase the size
es[index] = e;
size++;
}
}
6. En min-max-heap är en datastruktur med effektiva metoder både för att ta ut
minsta och största elementet i en datasamling. Precis som en vanlig heap är den
ett fullständigt binärt träd (“complete binary tree”), men elementen i en minmax-heap är ordnade på ett annat sätt. Alla noder som ligger på jämnt djup
(exempelvis roten) har nycklar som är mindre än (eller lika med) sina ättlingar,
medan alla noder som ligger på udda djup har söknycklar som är större än (eller
lika med) sina ättlingar. (En ättling till noden n är en nod som finns i delträdet
med roten n.)
(a) Rita en min-max-heap som innehåller elementen 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10! Observera att det finns många sådana min-max-heapar. (2p)
(b) Hur implementeras operationen max som returnerar det största elementet
i min-max-heapen (utan att ta bort det)? Vilken är den asymptotiska
tidskomplexiteten hos max. (3p)
(c) Hur implementeras operationen deleteMin som tar bort det minsta elementet i en min-max-heap? Visa resultatet av att utföra deleteMin på
min-max-heapen i (a). Asymptotisk komplexitet hos deleteMin? (5p)
Du ska beskriva implementeringarna här med hjälp av pseudokod. (Javakod
accepteras också.)
Observera att i t.ex. G & T är heapar en datastruktur för lexika där man lagrar
par av söknycklar och element. Men man kan förstås även lagra datasamlingar
där söknyckeln och elementet är samma sak.

dats_2008-12

Related documents

Products

Support

dats_2008-12

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib