alog x

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Föreläsning IX
Mikael P. Sundqvist
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Elementära funktioner
Vi kommer att betrakta
⋆ Polynom
⋆ Rationella funktioner
⋆ Potensfunktioner
⋆ Exponentialfunktiner
⋆ Logaritmfunktioner
⋆ Trigonometriska funktioner
⋆ Arcusfunktioner
⋆ Hyperboliska funktioner
⋆ Sammansättningar och liknande av dessa
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IX
Polynom
Definition
En funktion f som kan skrivas på formen
f(x) = an x n + an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0 ,
där koefficienterna ai är reella tal, kallas för ett polynom.
Exempel
f(x) = x 3 − x 2 + 2
En fördel med polynom är att de är enkla att arbeta med. Vi kommer senare
att approximera andra funktioner med polynom.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Rationella funktioner
Definition
p(x)
q(x)
En funktion f som kan skrivas på formen
f(x) =
där p och q är polynom kallas för en rationell funktion.
Exempel
x3 − x2 + 2
f(x) =
,
x+2
x ≠ −2
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Potenser och potenslagar
FÖRELÄSNING IX
Definition 2.2 Låt m och n > 0 vara heltal. För varje a ≥ 0 definierar vi
n
n :te roten av a (betecknas a 1/n eller √
a ) som det icke-negativa tal x sådant att
x n = a . Vidare definierar vi a m/n som (a 1/n ) m .
Potenslagar (se avsnitt 2.2)
⋆ a u ⋅ a v = a u +v
⋆ (a u ) v = a u⋅v
au
⋆ a v = a u−v
⋆ a0 = 1
Om a, b > 0 och u, v ∈ ℝ så gäller
⋆ a −u = a1u
⋆ (a ⋅ b) u = a u ⋅ b u
a u
au
⋆ ( b ) = bu .
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IX
Potensfunktioner
Definition
Låt α ∈ ℝ. En funktion på formen
kallas för en potensfunktion.
f(x) = x α ,
x>0
Sats 8.1 Potensfunktionen x α är strängt växande om α > 0 och strängt
avtagande om α < 0.
Bevis ingår ej.
3000
10
2000
5
1000
5
10
5
10
3
1.5
6
2
1.0
4
1
0.5
2
5
10
5
10
5
10
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Invers till potensfunktion
För x > 0 så gäller det att
y = x α ⟺ x = y 1/α .
Potensfunktionen f(x) = x α har alltså invers f −1 (x) = x 1/α .
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Exponentialfunktioner
Definition
Låt a > 0. En funktion på formen
f (x ) = a x ,
x∈ℝ
kallas för en exponentialfunktion. Talet a kallas för bas.
2x
ⅇx
10x
1 x
 
2
1 x
 
ⅇ

1
1
1 x
10

FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IX
Exponentialfunktioner
Sats 8.2 Funktionen f(x) = a x är strängt växande om a > 1 och strängt
avtagande om 0 < a < 1. Om a ≠ 1 är Vf = (0, +∞).
Kommentarer
⋆ Ofta skriver vi 2−x i stället för (1/2) x .
⋆ Av ovanstående anledning betraktas oftast baser större än ett.
⋆ Talet e ≈ 2.72 återkommer vi till.
⋆ e x skrivs ibland exp(x).
Eftersom exponentialfunktionerna är strängt monotona är de inverterbara.
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Logaritmfunktioner
FÖRELÄSNING IX
Definition Inversen till f(x) = a x , (a > 0 och a ≠ 1) kallas för a -logaritmen.
Vi skriver f −1 (x) = a log x (ibland f −1 (x) = loga x ). Det gäller vidare att Df −1 =
Vf = (0, +∞) och Vf −1 = Df = ℝ.
Det gäller alltså att y = a x ⟺ x = a log y .
2x
log2 (x)
1
1
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IX
Exempel, olika baser
Exempel
⋆
⋆
⋆
⋆
4
log 16
4
log 2
3
log 27 .
a
log 1
Beräkna
1
Vanliga baser:
⋆ ln x = e log x
⋆ lg x = 10 log x
⋆ 2 log x .
log(x)
1
log10(x)
log2 (x)
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Räknelagar för logaritmer
Ungefär Sats 8.4
⋆
a
log a x = x ,
⋆ a
⋆
⋆
⋆
a
a
a
a
log x
= x,
(x ∈ ℝ )
(x > 0)
log xy = a log x + a log y , (x, y > 0)
log y = a log x − a log y , (x, y > 0)
x
log x k = k ⋅ a log x , (x > 0, k ∈ ℝ)
Exempel 8.5
Förenkla 5 log 10 − (3 log 2)(5 log 3).
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Ekvationslösning
Exempel 8.6
Exempel 8.7
Exempel 8.8
Exempel 8.9
Exempel
Lös ekvationen e 3x+1 − 5 = 0.
Lös ekvationen 25 x − 5 x − 6 = 0.
Lös ekvationen 2 ln x = ln(x + 2).
Lös ekvationen ln(1 + x) + ln(1 − x) − ln x = 0.
Lös ekvationen 4x = 9 x .
2
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
Basbyte för logaritmer
Sats
Det gäller att
a
a
Exempel
log x = a log b ⋅ b log x
log x =
b
log x
b log a
Skriv om 2 log x uttryckt i ln x .
FÖRELÄSNING IX
ENDIMENSIONELL ANALYS B1 |
FÖRELÄSNING IX