UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
EN MATEMATISK MODELL
FÖR DIAGNOSTISERING AV DIABETES.
Sjukdomen diabetes mellitus, som karakteriseras av för mycket socker i blod och urin, brukar
man enligt uppgift diagnostiseras efter följande undersökning: patienten kommer till sjukhuset,
efter en natts fasta, och ges där en stor dos glukos. Under följande 3 till 5 timmar tas flera prover
för att mäta koncentrationen av socker i blodet. Här nedan presenteras en relativt enkel matematisk modell för diagnostisering. Modellen bygger på följande fakta:
A. För varje individ finns en optimal koncentration av socker i blodet och varje stor avvikelse
från detta optimala förhållande leder till allvarliga tillstånd och eventuellt till döden.
B. Blodsockerhalten påverkas av förekomsten av en mängd andra ämnen. Bland dessa är:
(a) Insulin, ett hormon som avsöndras från β cellerna i bukspottskörteln. Efter en måltid avsöndras
mer insulin från bukspottskörteln. Dessutom stimulerar förekomsten av socker i blodet β cellerna till större avsöndring. Utan tillräckligt med insulin kan kroppen intetillgodogöra sig all den
energi den behöver.
(b) Glucagon, ett hormon som avsöndras av α cellerna i bukspottskörteln. Överskott av socker
lagras i levern i form av glycogen. Vid behöv omvandlas detta tillbaks till socker. Hormonet
glucagon påskyndar nedbrytandet av glycogen till socker. Tydligt är att lågt blodsockervärde
främjar utsöndrandet av glucagon, medan högt värde minskar utsöndrandet.
(c) Epinephrin (adrenalin), ett hormon det också. Detta hormon är del i kroppens försvarsmekanism och ökar snabbt halten av socker i blodet vid extremt låga blodsockervärden. Epinephrin
ökar takten för nedbrytande av glycogen till socker. Dessutom motverkar det direkt sockerupptagningen i musklerna och motverkar direkt bukspottskörtelns utsöndring av insulin.
(d) Glucocorticoider, en grupp hormoner som spelar en stor roll vid nedbrytningen av kolhydrater.
(e) Thyroxin, ännu ett hormon. Hjälper levern att bilda glukos av icke-kolhydrater som t.ex.
glycerol och aminosyror.
(f) Somatropin (tillväxt hormon). Poverkar sockerhalten direkt, men tenderar dessutom att
blockera insulin. Man tror att detta hormon minskar musklernas känslighet för insulin och
därigenom minskar effekten av insulinets verkningar på sockerupptagningen hos cellerna.
Vi låter nu G = G(t) = blodsockerhalten vid tiden t .
H = H(t) nettohalten av hormoner i blodet vid tiden t .
Funktionen H(t) är växande som funktion av de hormoner som minskar blodsockerhalten, t.ex.
insulin, och avtagande som funktion av andra, t.ex. epinephrin. Den grundläggande modellen
beskrivs av följande ekvation:
G0 (t) = F1 (G, H) + J(t)
(1)
H 0 (t) = F2 (G, H)
(2)
Funktionen J(t) beskriver det externa intaget av socker.
Antag nu att G och H har antagit optimala värden G0 respektive H0 .
Detta medför att F1 (G0 , H0 ) = F2 (G0 , H0 ) = 0 .
Vi är intresserade i avvikelser från det optimala tillståndet och gör därför substitutionen
g = G − G0 , h = H − H0 , vilket ger:
g0 (t) = F1 §(G0 + g, H0 + h) + J(t)
h0 (t) = F2 (G0 + g, H0 + h)
Taylorutveckling av F1 och F2 kring (G0 , H0 ) ger:
Fi (G0 + g, H0 + h) = Fi (G0 , H0 ) + (Fi )0G (G0 , H0 )g + (Fi )0H (G0 , H0 )h + Ri , i = 1 , 2
där R1 och R2 är små om (G, H) är nära (G0 , H0 ) .
Så vid liten avvikelse från det optimala tillståndet ser vi att:
g0 (t) = (F1 )0G (G0 , H0 )g + (F1 )0H (G0 , H0 )h + J(t)
h0 (t) = (F2 )0G (G0 , H0 )g + (F2 )0H (G0 , H0 )h
För att lösa detta system behöver vi bestämma de partiella derivatorna av F1 och F2 i punkten (G0 , H0 ) . Om g > 0 och h > 0 ser vi att g0 (t) är negativ, eftersom sockerkoncentrationen i blodet är avtagande pga omsättning av socker och upptag av socker i levern. Därför är
(F1 )0G (G0 , H0 ) negativ. På samma sätt är (F1 )0H (G0 , H0 ) negativ då positiva värden på h minskar
blodsockerhalten. F2 )0G (G0 , H0 ) är positiv eftersom ett positivt värde på g gör att de hormoner
som ökar H avsöndras. Slutligen är (F2 )0H (G0 , H0 ) negativ eftersom koncentrationen av hormoner i blodet minskar genom hormonomsättning.
Alltså kan vi skriva:
g0 (t) = −m1 g − m2 h + J(t)
h0 (t) = −m3 h + m4 g
där mi , i = 1, 2, 3, 4 är positiva konstanter.
Ur detta linjära system av första ordningens ekvationer får vi:
d2g
dg
dJ
+ (m1 + m3 ) + (m1 m3 + m2 m4 )g = m3 J +
.
2
dt
dt
dt
Vi sätter α = (m1 + m3 )/2 , ω20 = m1 m3 + m2 m4 och S(t)3 J +
d2g
dg
+ 2α + ω20 g = 0 .
dt 2
dt
dJ
och får
dt
Om t.ex. α2 − ω20 < 0 är lösningarna på formen G(t) = G0 + Ae−αt cos(ωt − δ) ,
där ω2 = ω20 − α2 och A och δ är konstanter.
Så för att bestämma g närmare måste mätningar göras på patienten som bestämmer G0 , A , α , , ω0
och δ . G0 mäts direkt vid ankomsten till undersökning. Efter sockerintagningen görs sedan fyra
mätningar av blodsockerhalten Gi , i = 1 , . . . , 4 , och de återstående 4 obekanta parametrarna
bestäms ur ekvationerna:
Gi = G0 + Ae−αti cos(ωti − δ)) , i = 1 , . . . , 4 .
Ett bättre resultat med större nogranhet fås om fler mätningar G1 , . . . , Gn utföres vid tidpunkterna t1 , . . . ,t : n och sedan minimeras
n
E = ∑ (Gi − G0 − Ae−αti cos(ωti − δ))2
i=1
(minsta kvadratanpassning av kurvan till mätvärdena).
Numeriska experiment visar att små mätfel av G ger upphov till stora fel i α . En diagnostismodell som blandar in parametern α är således ej tillförlitlig. Parametern ω0 är dock ganska
okänslig för mätfel och denna väljs som mått på sockertoleransen. Normalt används istället en
parameter T0 = ω0 /2π . Ett värde på mindre än 4 (timmar) på T0 , indikerade att patienten ej lider
av diabetes, medan mer än 4 tydde på svag diabetes.
Sociologiska faktorer kan spela roll i blodsockeromställningen. Den normala tiden mellan två
måltider i vår kultur är ungefär 4 timmar. Modellen som beskrivs kan endast användas för diagnostisering av lindring diabetes eller förstadier till diabetes, eftersom vi antagit att avvikelsen
g från G0 är liten. En annan svaghet hos modellen är en dålig anpassning till mätdata efter 3
till 5 timmar efter sockerintaget. Andra parametrar, som epinephrin och glucogan, borde införas
som separata variabler för att komma till rätta med denna svaghet.
Referenser:
M. Braun:Differential equations and their applications. Springer Verlag. 1975.
