Den gyllene kunskapstriangeln
- vacker och spännande matematik
Lars-Erik Persson
Luleå Tekniska Universitet
Karlstad, 4 November 2013
http://www.ltu.se/inst/mat/staff/larserik
1
Den Gyllene Kunskapstriangeln
Kunskap
Intresse
Självförtroende
2
Subtraktion
3
Den magiska attraktorn
10 10
7614
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
10 10
2358
-
8 5 3 2
2 3 5 8
6 1 7 4
6174
4
Den magiska attraktorn
10 10
6642
-
6 6 4 2
2 4 6 6
4 1 7 6
10 10
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
5
Den magiska attraktorn
7218
10 10
-
8 7 2 1
1 2 7 8
7 4 4 3
10 10
7 4 4 3
3 4 4 7
3 9 9 6
-
10 10
-
6 6 4 2
2 4 6 6
4 1 7 6
10 10
-
9 9 6 3
3 6 9 9
6 2 6 4
10 10
-
7 6 4 1
1 4 6 7
6 1 7 4
6174
6
Den magiska attraktorn
• Välj nu ditt eget favorittal (ej alla siffror
lika) och räkna på!
• Gäller detta alltid? Ja, man kommer alltid
till det magiska talet 6174 efter högst 7
upprepningar!
• Vad händer om du gör samma sak med 3siffriga eller 5 siffriga tal?
7
Den magiska attraktorn - historik
6174
Talet kallas för Kaprekars tal efter den
indiska matematikern D.R. Kaprekar
(1905-1986), som upptäckte
egenskaperna hos talet år 1949.
8
Fibonaccis kaninproblem
division
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
= Fibonaccitalen
3
= 1,5
2
5
= 1, 667...
3
89
= 1, 618...
55
®
8
= 1, 6
5
13
= 1, 625...
´8
5+1
» 1, 618
2
21
= 1, 616...
13
34
= 1, 619...
21
55
= 1, 617...
34
5+1
kallas DET GYLLENE SNITTET
2
http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers3.shtml
9
Pentagon
10
Gyllene snittet hos människan
Hela längden
= gyllene snittet
Huvud till fingertopp
Huvud till fingertopp
= gyllene snittet
Huvud till navel
Huvud till navel
= gyllene snittet
Bredd mellan axlarna
Bredd mellan axlarna
= gyllene snittet
Armbåge till fingertopp
Huvudet formar en gyllene rektangel och ögonen är mittpunkten
Armens, benens och fingrarnas delning
11
En gyllene rektangel
Höjden är sidan och basen diagonalen i en
Pentagon, dvs. proportionerna är det gyllene snittet
http://www.codefun.com/Geometry_golden1.htm
12
Att förstå på flera olika sätt (flera
sinnen) väcker intresse…
13
Räkneregler
a
a
b
aa=a2
ba
ab
b2
b
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
2
”Snickartriangeln”
5
3
4
2
2
3 +4 = 5
2
(9+16=25)
15
Pythagoras sats
c
b
a
2
2
a +b = c
2
16
Finns det fler ”Snickartrianglar”?
Ja tex:
a = 5, b = 12, c = 13
52 + 122 = 132 (25 + 144 = 169)
men även
a = 99, b = 20, c = 101
(9801 + 400 = 10201)
17
Finns det fler ”Snickartrianglar”?
I själva verket finns det oändligt många snickartrianglar
tex. alla tal av typen:
a = m2 – n2
b = 2mn
m>n
c = m 2 + n2
n = 1,2,…
är snickartrianglar eftersom
a2 + b2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 – 2m2n2 + n4 + 4m2n2
= m4 + 2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = c2
Exempel:
m = 2, n = 1 ger
a = 3, b = 4, c = 5
m = 3, n = 2 ger
a = 5, b = 12, c = 13
m = 4, n = 3 ger
a = 7, b = 24, c = 25
m = 10, n = 1 ger
a = 99, b = 20, c = 101
18
Pythagoras sats
19
Ett ”vackert” bevis
Pythagoras sats:
a2 + b2 = c2
”Ytan av stora Kvadraten”
(a + b)2 = c2 + 4(ab)/2
a2 + 2ab + b2 = c2 +2ab
a2 + b2 = c2
Fermats gåta
Finns det heltal a, b, c som uppfyller
a3 + b3 = c3 ?
Svar: NEJ!
Finns det heltal a, b, c som uppfyller
a4 + b4 = c4 ?
Svar: NEJ!
osv….
21
Fermats gåta
P. Fermat påstod för mer än 350 år sedan att han
bevisat att det inte finns några heltal
a, b, c som uppfyller an+ bn = cn
för n = 3,4,5..osv
Påståendet var sant men kunde
bevisas först 1995 av A. Wiles
Lösning av spännande problem
väcker intresse…
23
Födelsedagsproblemet
• Hur stor är sannolikheten för att minst två
personer i en grupp med n personer har
födelsedag samma dag?
24
Födelsedagsproblemet
n
sannolikhet
23
50%
30
70%
41
90%
47
95%
57
99%
För sannolikhet 1 krävs minst 367 personer!
25
Schackbrädesproblemet
Schackbrädet har
64-2 = 62 rutor
Kan vi täcka alla rutor
med 31 dominobrickor ?
Schackbräde utan två hörn
Svar: Nej!
(Ledning: 32 svarta 30 vita rutor, en
dominobricka täcker en svart och
en vit…)
26
Snabbräkning på Gauss vis
C.F. Gauss (1777-1855) fick följande
problem som 10-åring
1+ 2 + 3 + ... + 100 = ?
27
Snabbräkning på Gauss vis
Gauss blixtsnabba lösning… (svar 5050)
1
+
2
+
3
+
…
+
100
100
+
99
+
98
+
…
+
1
101
+
101
+
101
+
…
+
101
(100·101)/2 = 5050
På samma sätt inser man att
1 + 2 + 3 + ... + n =
n (n + 1)
2
28
Spännande exempel från modern
matematik väcker intresse…
29
Von Kochs snöflingekurva
Ett exempel på en (fraktal) figur som
har oändlig omkrets men ändlig
innesluten area.
Area på snöflingan är 8/5 gånger
så stor som bastriangelns area.
Längden av kurvan efter
n steg = (4/3)n
30
Fler fraktaler….
Juliamängder och Mandelbrotmängd
Mandelbrotmängden kan ses som ett register
där varje punkt ger en Juliamängd.
31
Fler fraktaler….
Exempel på Juliamängder = två sidor i min bok med oändligt många sidor
32
En resa in i Seahorse Valley…
33
Den Gyllene Kunskapstriangeln
Kunskap
Intresse
Självförtroende
Förstå med hela kroppen inte bara med knoppen!
Kunskap
Intresse
Självförtroende
Möbiusband
• Ett möbiusband har bara en yta och en kantlinje!
• Den kan konstrueras genom att en av ändarna på
en lång rektangulär remsa vrids ett halvt varv, innan
ändarna sätts ihop.
36
Möbiusband
• Denna typ av ytor är uppkallade efter den
nederländske matematikern och astronomen
August F. Möbius (1790-1868).
• Han beskrev den ungefär samtidigt som en
annan matematiker, Johann Benedict Listing, år
1858, men de gjorde det oberoende av
varandra.
37
Möbiusband
…i tekniska tillämpningar
38
Möbiusband
…i konsten
39
”Endless ribbon” av M. Bill 1935
Möbiusband
…i konsten
40
”Immortality” av J. Robinson
Möbiusband
…i konsten
”We have died and gone to Mobius heaven”
av Teja Krasek & Cliff Pickover
41
Möbiusband
…som frimärksmotiv
42
Kunskap
Intresse
Självförtroende
