SDOF med viskös dämpning
Alla verkliga system avger energi (värme) vid vibration.
För ett frisvängande system kommer därför
vibrationsamplituden att dämpas ut över tiden.
1
0.5
Förflyttning
z
0
-0.5
-1
0
1
2
3
Tid (sek)
4
5
s1
SDOF med viskös dämpning
z
z
z
En användbar och enkel dämpmodell är sk. viskös
dämpning.
En viskös dämpare producerar en dämpkraft som är
proportionell mot hastigheten
En viskös dämpare brukar modelleras som en oljedämpare
(cylinder+kolv)
x
fc
Dämpkraft proportionell mot hastigheten:
fc = −cv(t) = −c
är den viskösa dämpkonstanten; enhet: [Ns/m]
s2
SDOF med viskös dämpning
Rörelseekvation:
förflyttning
x
k
M
m
= −kx(t) − c
eller
c
m
+c
+ kx(t) = 0
För att lösa denna ekvation antar
man en lösning på formen:
s3
SDOF med viskös dämpning
z
Komplexa tal kan användas för att matematiskt
representera svängningar :
Im
a
A
θ
b
Re
s4
SDOF med viskös dämpning
z
Tidsderivera ansatsen
(hastighet och acceleration):
z
Sätt in i rörelseekvationen
m
+c
+ kx(t) = 0
s5
SDOF med viskös dämpning
z
Vi inför en ny term, som vi kallar dämpkvot och betecknar
med bokstaven ζ .
dämpkvoten är dimensionslös!
z
Ekvationen blir då:
(karakteristiskt ekvation)
z
Vi löser ut λ :
s6
SDOF med viskös dämpning
z
Vi får tre olika fall i lösningen, beroende på om dämpkvoten
är ζ=1, ζ>1 eller ζ <1 :
z
Fall 1 – Kritisk dämpning ζ=1
en reell rot till karakteristiska
ekvationen
z
Lösningen blir då:
s7
SDOF med viskös dämpning
z
Konstanterna a1 och a2 bestäms mha initialvillkoren vid
tiden t=0.
Antag att x(0)=x0 och v(0)=v0 vid tiden t=0:
z
Tidsderivera x(t):
z
s8
SDOF med viskös dämpning
z
Fall 1 – Kritisk dämpning ζ=1
k=225N/m m=100kg och ζ=1
0.6
0.5
Förflyttning (mm)
Ingen svängning –
snabb utdämpning
x0=0.4mm v0=1mm/s
x0=0.4mm v0=0mm/s
x0=0.4mm v0=-1mm/s
0.4
(stötdämpare)
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
1
2
Tid (sek)
3
4
s9
SDOF med viskös dämpning
z
Fall 2 – Stark dämpning ζ > 1
två reella rötter till
karakteristiska ekvationen
z
Lösningen blir
där a1 och a2 bestäms mha initialvillkoren
s 10
SDOF med viskös dämpning
z
Fall 2 – Stark dämpning ζ > 1
k=225N/m m=100 kg och ζ = 2
0.6
0.5
Förflyttning (mm)
Långsammare
respons än vid kritisk
dämpning
x0=0.4mm v0=1mm/s
x0=0.4mm v0=0mm/s
x0=0.4mm v0=-1mm/s
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
1
2
Tid (sek)
3
4
s 11
SDOF med viskös dämpning
z
Fall 3 – Svag dämpning ζ < 1
Rötterna till karakteristiska
ekvationen är komplexa (ett
komplexkonjugerat par)
z
Lösningen blir
z
ωd kallas för den dämpade egenfrekvensen:
s 12
SDOF med viskös dämpning
Fall 3 – Svag dämpning ζ < 1
z
A och
bestäms mha initialvillkor
1
ger en respons som
oscillerar och avtar
exponentiellt
z många mekaniska
system har svag
dämpning
z
Förflyttning
0.5
0
-0.5
-1
0
1
2
3
Tid (sek)
4
5
s 13
SDOF med viskös dämpning
z
Mätning av dämpkonstant med logaritmiskt dekrement
x(t)
δ = ln
x(t + T )
Amplitud
1
0.5
0
-1
sin( ωd t + φ)
δ = ln −ζωn (t +T )
sin( ωd t + ωd T + φ )
Ae
δ = ζωn T
Ae
-0.5
0
0.5
1
Time(sek)
1.5
2
−ζωn t
s 14
SDOF med viskös dämpning
z
Logaritmiskt dekrement forts.
Lös ut ζ:
För små ζ (
Logaritmiskt dekrement som funktion av
dämpkvoten
) gäller att
s 15
SDOF med viskös dämpning
Övningsuppgifter
z från Inman:
1.41, 1.56, 1.57, 1.91, 1.94 (sid. 3 ff. i uppgiftshäfte)
z Blandade uppgifter:
uppgift 7 (sid. 7 i uppgiftshäfte)
s 16
