Egenvärden och egenvektorer
Det står om egenvärden och egenvektorer i Rodhe–Sollervall kap 6, och det finns
några övningsuppgifter i slutet av kapitlet.
I kompendiet rekommenderar jag följande ordning:
139, 141, 145, 137 (fel i facit), 140 (litet svårare, fel i facit), 136 (ännu litet svårare,
också fel i facit).
!
!
2
−4
Facit 137 skall vara ! = 4 ⇒ ! = !; ! = −2 ⇒ ! = !
1
1
!
!
Facit 136 är rättat tidigare, den sista vektorn skall inte vara
utan
.
1
0
Facit 140a: egenvärdena är inte 7 och 1 utan 7 och 2.
Exempel Bestäm egenvärden och egenvektorer till A =
1 1
.
2 0
1 − ! 1
= 0.
2
0 − ! Vi får (1 − ! )(− ! ) − 2 = 0 som ger ! = 2 och ! = −1.
Lösning: Lös ! ur ekvationen
Lös x och y ur ekvationen
1 − ! 2
1
0 − ! !
0
! = 0 .
(1)
−! + ! = 0
Bägge ekvationerna har samma lösningsmängd; vi kan
2! − 2! = 0
stryka den ena och ha kvar –x+y = 0. En lösning är x = 1, y = 1. Egenvektorn som
1
svarar mot ! = 2 är
!.
1
2! + ! = 0
! = −1 ger
2! + ! = 0
1
En lösning är x = 1, y = –2. Egenvektorn som svarar mot ! = −1 är
!.
−2
1
1
SVAR: ! = 2 ger egenvektorn
!; ! = −1 ger egenvektorn
!.
1
−2
! = 2 ger
OBS!! Nästan alla tänker fel ibland på ekvationer av typen x = 2y. "Jaha, y är dubbelt
så stort som x", tänker man. Men det är tvärtom, x är dubbelt så stort som y, så
2
motsvarande vektor är
!.
1
!
!
Kommentar: Ekvationen (1) ovan svarar mot att ! ! = ! ! . Vad vi söker är alltså
de vektorer u som är sådana att Au = !u, dvs Au skall peka i samma riktning som u
(eller rakt motsatt riktning mot u).
Följande behöver ni inte kunna på tentan men gärna efteråt:
En andragradskurva !! ! + !"# + !! ! = ! betyder normalt en ellips eller en
hyperbel. Ekvationen kan skrivas
!
!
! ! !
= C
(2)
för någon 2x2-matris A.
Då vi gör andraderivatatestet av en funktion f(x,y) så är förstaderivatorna noll så
Taylorutvecklingen av funktionen blir f(x,y) = f(a,b) + !! ! + !"# + !! ! (+ termer av
grad tre och högre). Vad som bestämmer ifall vi har max eller min eller sadel är alltså
koefficienterna p, q och r.
Då vi närmar oss en max- eller minpunkt blir nivåkurvorna normalt alltmer
ellipsliknande, då vi närmar oss en sadelpunkt blir de normalt mer och mer
hyperbelliknande. Gradienterna runt en maxpunkt pekar inåt, runt en minpunkt
utåt, och runt en sadelpunkt pekar några inåt och några utåt.
Vad har detta med egenvektorer att göra? Jo, om vi tittar på ekvation (2) så visar det
sig att egenvektorerna till A talar om ifall det är hyperbler eller ellipser vi har att göra
med. Här finns alltså en koppling mellan egenvektorer, Taylorutvecklingar och
andraderivatatestet.
Egenvektorer har en lång rad andra tillämpningar inom olika fält. Till exempel då du
gör en sökning på google så bildas en egenvektor utifrån en nxn-matris där n är
ungefär 25000000000. Ni kan läsa om detta på
http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-pagerank
I kursen nöjer vi oss med 2x2-matriser. men ni bör känna till att egenvektorer dyker
upp på många områden där man inte väntar sig att finna dem.
