Malmö högskola
Teknik och samhälle
Tentamensskrivning
Linjär algebra
2013-03-18 kl 1415 -1915
Inga hjälpmedel.
Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar och vara maximalt
förenklade. Alla inlämnade papper skall vara försedda med namn.
Vi förutsätter att alla koordinater är givna i en HON-bas om inget annat anges.
1. Låt planen π1 : x + y + 2z = 0 och π2 : −x + 2y + z = 5 vara givna
(a) Bestäm skärningslinjen mellan planen.
(0.4)
(b) I vilken punkt skär π2 z− axeln?
(0.2)
(c) Bestäm vinkeln mellan planen π1 och π2
(0.4)
2. (a) Beräkna avståndet mellan planet 2x + y − 3z + 5 = 0 och punkten (3, 1, −2) (0.4)
(b) Beräkna avståndet mellan linjen ℓ : (x, y, z) = (3, 0, 2) + t(1, 2, −1)
och punkten (5, 1, 3).
(0.6)
3. (a) Bestäm en ekvation på affin form för planet som är parallellt med vektorerna
v1 = (2, 3, 1) och v2 = (2, −1, 2) och som går genom punkten (2, 4, 3).
(0.5)
(b) Lös ekvationssystemet
3
x + 4y + 3z =
−x − 2y + 3z = −3
2x + 2y + 3z = −9
(0.5)
4. Låt matriserna
A och
B vara givna
2 −2
1
2 1
2
2 och B = −3 1 .
A = 31 1
2
1 −2
−1 1
(a) Visa att matrisen A är ortogonal och ange dess invers
(0.6)
(b) Lös ut X ur matrisekvationen AT X = B.
(0.4)
5. (a) Kraften på en laddad partikel som rör sig i magnetfält ges av
F = q v × B,
där B magnetfältet och där q är partikelns laddning och v dess hastighetsvektor.
I uppgiften anges alla storheter i Si-enheter.
Bestäm F om q = −1, v = 10(1, −2, 1) och B = 0.1(3, 2, 3).
Hur är F riktad i förhållande till v och B?
(0.5)
(b) För vilka
1
A= 1
1
värden
på konstanten a är matrisen
2 2
3 a inverterbar?
a 3
(0.5)
6. Låt F vara den sammansatta linjära avbildning som speglar planets vektorer i linjen
2x1 + x2 = 0 samt förlänger dem med en faktor 5.
(a) Bestäm matriserna för speglingen och förlängningen samt för den sammansatta
avbildningen F .
(0.5)
(b) Bestäm egenvärden och egenvektorer till F .
Ge en geometrisk tolkning av egenvärden och egenvektorer. (ger 0.1 p).
Lycka till!
2
(0.5)
