LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
TENTAMENSSKRIVNING
ANALYS 2
2007-08-22 kl 8.00-13.00
Hjälpmedel: Utdelat formelblad
Lösningar ska vara försedda med ordentliga motiveringar.
1. Lös differentialekvationerna
2( x 1)
, y (1) 3.
a) y
y2
b) y 2 y e 3 x
(0.5)
(0.5)
2. Lös begynnelsevärdesproblemet
y 2 y y x 2
,
y(0) 6 , y (0) 8.
x 2 sin( x 2 )
x 0
x6
b) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 3 till
1
f ( x)
kring punkten 1.
1 2x
3. a) Beräkna gränsvärdet
lim
(0.5)
(0.5)
2
4. a) Beräkna integralen
x sin 2 x dx
(0.5)
0
x
1
, 0 x , roterar kring x-axeln.
1 x
2
Bestäm volymen av den bildade ”struten”.
b) Kurvan y
(0.5)
5. Tillväxthastigheten för en viss bakteriekultur är proportionell mot antalet
bakterier. Antag att kulturen innehöll 10 miljoner bakterier vid tiden t 0
och dubbelt så många efter 10 minuter.
Hur många bakterier innehåller kulturen efter ytterligare en halvtimme?
6. Den linjära differentialekvationen
xy (2 x 1) y ( x 1) y 0
har inte konstanta koefficienter och är därför av en svårare typ. Med hjälp av
substitutionen y ze x erhålls en differentialekvation i z som är möjlig att lösa.
Bestäm den allmänna lösningen till den ursprungliga differentialekvationen.
SLUT!
