1. Beräkna följande integraler.
Z2
Z
a)
2x
xe
dx
b)
0
Z1
x2 + 1
dx
x+1
c)
sin
√
x dx
(10p)
0
2. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas
1
av kurvan y = 2 samt linjerna y = 1 och y = e får rotera kring y− axeln. (6p)
x
3. Beräkna arean av det begränsade området mellan kurvorna y = x3 och
y = x2 .
(6p)
4. En kropp med massan m rör sig längs en rät linje med hastigheten v(t), där
t är tiden. Kroppen utsätts för en bromsande kraft som är lika med −kv(t),
där k är en positiv konstant. Enligt kraftekvationen gäller då
m·
dv
= −kv(t).
dt
Bestäm hastigheten som funktion av tiden om v(0) = v0 .
(4p)
5. Lös följande differentialekvationer.
a) (x + x2 )y 0 + 4xy = 1, y(1) = 0
b) y 0 = −x(1 − y)2 , y(0) = 3
(12p)
6. Bestäm den lösning till differentialekvationen y 00 + 2y 0 + 5y = sin x som
uppfyller villkoren y(0) = 1 och y 0 (0) = −1.
( Ledning: Ansätt yp = a cos x + b sin x )
(6p)
7. Bestäm på formen y = f (x) en ekvation för den kurva genom punkten
(1, 1) som har egenskapen att för varje punkt (x, f (x)) på kurvan gäller att
(6p)
kurvans tangent i denna punkt skär y−axeln i punkten (0, x3 ).
1
