Avstånd mellan punkt och plan

Avstånd mellan punkt och plan
Exempel 8. Låt Π: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 6 och 𝑃(1,1,0). Bestäm avståndet mellan Π och 𝑃. Bestäm
även den punkt 𝑃1 i Π som ligger närmast 𝑃.
Lösning.
𝑃
• Bestäm den normal till Π som går genom 𝑃.
𝐧
• Dess skärningspunkt med Π blir den sökta 𝑃1 .
𝑃1
𝑃0
• Avståndet mellan Π och 𝑃 är 𝑃𝑃1 .
Planets normalvektor 𝐧 = 2, −3. −1 , blir riktningsvektor,
𝑥
1
2
𝑂
normalens ekvation blir då 𝑦 = 1 + 𝑡 −3 .
𝑧
0
−1
Bestäm skärningspunkten; 𝑃1 = 1 + 2𝑡, 1 − 3𝑡, −𝑡 sätts in i ekvationen 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 6
Vi får 2(1 + 2𝑡) − 3(1 − 3𝑡) − (−𝑡) = 6 ⇔ 2 + 4𝑡 − 3 + 9𝑡 + 𝑡 = 6 1 ⇔ 14𝑡 = 7
⇔ 𝑡=
1
2
𝑃𝑃1 =
1
1
1
1
1
1
𝑃1 = 1 + 2 ∙ , 1 − 3 ∙ , −( ) = 2, − , −
= (4, −1, −1)
2
2
2
2
2
2
1 1
3 1
1
2, − , −
− 1,1,0 = 1, − , −
= (2, −3, −1)
2 2
2 2
2
1
och 𝑃𝑃1 = 2 4 + 9 + 1 =
14
.
2