Avstånd mellan punkt och plan
Exempel 8. Låt Π: 2π₯ − 3π¦ − π§ = 6 och π(1,1,0). Bestäm avståndet mellan Π och π. Bestäm
även den punkt π1 i Π som ligger närmast π.
Lösning.
π
• Bestäm den normal till Π som går genom π.
π§
• Dess skärningspunkt med Π blir den sökta π1 .
π1
π0
• Avståndet mellan Π och π är ππ1 .
Planets normalvektor π§ = 2, −3. −1 , blir riktningsvektor,
π₯
1
2
π
normalens ekvation blir då π¦ = 1 + π‘ −3 .
π§
0
−1
Bestäm skärningspunkten; π1 = 1 + 2π‘, 1 − 3π‘, −π‘ sätts in i ekvationen 2π₯ − 3π¦ − π§ = 6
Vi får 2(1 + 2π‘) − 3(1 − 3π‘) − (−π‘) = 6 ⇔ 2 + 4π‘ − 3 + 9π‘ + π‘ = 6 1 ⇔ 14π‘ = 7
⇔ π‘=
1
2
ππ1 =
1
1
1
1
1
1
π1 = 1 + 2 β , 1 − 3 β , −( ) = 2, − , −
= (4, −1, −1)
2
2
2
2
2
2
1 1
3 1
1
2, − , −
− 1,1,0 = 1, − , −
= (2, −3, −1)
2 2
2 2
2
1
och ππ1 = 2 4 + 9 + 1 =
14
.
2
