Avstånd mellan punkt och plan Exempel 8. Låt Π: 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 6 och 𝑃(1,1,0). Bestäm avståndet mellan Π och 𝑃. Bestäm även den punkt 𝑃1 i Π som ligger närmast 𝑃. Lösning. 𝑃 • Bestäm den normal till Π som går genom 𝑃. 𝐧 • Dess skärningspunkt med Π blir den sökta 𝑃1 . 𝑃1 𝑃0 • Avståndet mellan Π och 𝑃 är 𝑃𝑃1 . Planets normalvektor 𝐧 = 2, −3. −1 , blir riktningsvektor, 𝑥 1 2 𝑂 normalens ekvation blir då 𝑦 = 1 + 𝑡 −3 . 𝑧 0 −1 Bestäm skärningspunkten; 𝑃1 = 1 + 2𝑡, 1 − 3𝑡, −𝑡 sätts in i ekvationen 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑧 = 6 Vi får 2(1 + 2𝑡) − 3(1 − 3𝑡) − (−𝑡) = 6 ⇔ 2 + 4𝑡 − 3 + 9𝑡 + 𝑡 = 6 1 ⇔ 14𝑡 = 7 ⇔ 𝑡= 1 2 𝑃𝑃1 = 1 1 1 1 1 1 𝑃1 = 1 + 2 ∙ , 1 − 3 ∙ , −( ) = 2, − , − = (4, −1, −1) 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 1 2, − , − − 1,1,0 = 1, − , − = (2, −3, −1) 2 2 2 2 2 1 och 𝑃𝑃1 = 2 4 + 9 + 1 = 14 . 2