TENTAMEN I MATEMATIK, TEN 1
Skrivtid: 08:15-12:15
Kurskod 6A2113, 6A2110
Hjälpmedel: Inga hjälp medel
Datum: 030818
Poängfördelning och betygsgränser:
För betyg 3, 4, 5 krävs 18, 30 respektive 36 poäng.
Examinator : Armin Halilovic
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället.
Uppgift 1) ( 2 poäng)
Bestäm absolutbeloppet av z då z (2 i) 2 (1 i) 2 .
Svar: z 3 6i ,
| z | 45 3 5
Uppgift 2) ( 2 poäng)
Bestäm arg(z) då
z 123 (1 i) e
4
7
i
4
.
7 11
Lösning: 4
4
4
4
3
Svar: arg(z)=
4
Uppgift 3) ( 2 poäng)
1 i
Beräkna och förenkla
1 i
103
. Svara på formen a bi .
1 i
103
100
3
Lösning:
= i = i i i
1 i
Svar: i
Uppgift 4) ( 2 poäng)
Lös olikheten (2 x)(3 2 x)( x 3) 0 .
Lösning:
103
2+x
3-2x
x+3
f(x)
+
+
-3
+
0
0
+
+
-
-2
0
+
+
0
+
+
+
+
3/2
+
0
+
0
+
+
-
Svar: 3 x 2 eller x 3 / 2
Uppgift 5) ( 2 poäng) Matrisen C definieras som C 2B A B där
1 2
1 2
A
och B
1 2
1 0
Beräkna determinanten Det(C).
5 6
Svar: C
Det(C)= -20
,
5
2
Uppgift 6) ( 2 poäng)
En rätlinje går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(2,3,3).
Bestäm eventuell skärningspunkt mellan linjen och planet y+z=0.
Lösning: Linjens ekvation är : ( x, y, z ) (1,2,3) t (1,1,0) . Substitution i planets ekvation ger
t 5 . Härav får vi skärningspunkten (-4,-3,3).
Svar (-4,-3,3)
Uppgift 7) ( 2 poäng)
En triangel har sina hörn i punkterna A(4,1,2), B=(0,1,2) och C=(0,2,3).
a) Bestäm triangelns area
b) Bestäm triangelns omkrets
Svar a) arean= 2 2 b) Omkretsen = 4 4 2
Uppgift 8) ( 2 poäng)
Undersök för vilket (vilka) värde på den reella parametern a som följande ekvationssystem
har
a) oändligt många lösningar, b) ingen lösning , b) exakt en lösning
a 2 x y 2
4x y a
Svar a) Om a 2 har systemet oändligt många lösningar b) Om a 2 har systemet ingen
lösning c) Om a 2 har systemet exakt en lösning.
Uppgift 9) ( 5 poäng)
( x 2 4)( x 2 9)
Lös olikheten
0
x3 x
Lösning:
Först faktoriserar vi uttrycket i reella faktorer:
( x 3)( x 3)( x 2 4)
0
x( x 1)( x 1)
Anm: Uttrycket x 2 4 är alltid positiv
x-3
x+3
-
-3
0
+
-1
+
+
0
+
x2+4
+
+
+
+
+
+
+
+
x
-
-
-
-
-
0
+
x-1
-
-
-
-
-
-
-
x+1
-
-
-
f(x)
-
0
+
0
+
ej
def -
+
+
+
+
ej
def +
Svar: 3 x 1 eller 0 x 1 eller x 1
3
1
+
+
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
+
+
+
+
+
ej
def -
+
+
0
+
Uppgift 10 ) ( 5 poäng)
Bestäm alla lösningar till ekvationen 2 z 3 10 z 4 0 .
Lösning: Vi förkortar ekvationen och får z 3 5 z 2 0
Vi gissar en lösning. Vi prövar om lösningen finns bland 1 , 2 ( Dessa är hela faktorerna
av ekvationens konstanta term 2) och ser att z1=2 är en lösning.
Därefter delar vi 2 z 3 10 z 4 med z 2 och får kvoten z 2 2 z 1 .
Slutligen löser vi ekvationen z 2 2 z 1 0 och får två lösningar till:
z 2 1 2 och z3 1 2
Svar: z1=2, z 2 1 2 och z3 1 2
Uppgift 11 ) ( 5 poäng)
Bestäm parametern a så att linjen L1 som är skärningslinjen mellan planen
x y 3z 1 och x 3 y z 2
och linjen
L2 : x 1 at , y 3 at , z 1 2t
har vinkelräta riktningsvektorer.
5
1
Lösning: Skärningslinjen L1 har ekvationen x 2t , y t , z t . Härav får vi en
4
4
riktningsvektor för linjen L1: v1 (2,1,1) .
Den räta linjen L2 har en riktningsvektor v 2 (a, a, 2) .
De är vinkelräta om deras skalärprodukt v1 v 2 0 d v s
2a a 2 0
Härav a 2
Svar: a 2
Uppgift 12 ) ( 5 poäng)
Lös följande ekvation med avseende på x
1
a
a2
1 ( x 4) ( x 4) 2 0
1
3
9
Lösning: i) Om a=3 har ekvationen oändligt många lösningar (Determinanten är noll eftersom
första och tredje raden är lika.
ii) Om a 3 har vi två uppenbara lösningar x1 7 och x2 4 a
x 4 3 x 7 ( Rad 2 och rad 3 är lika D 0 )
x 4 a x 4 a ( Rad 2 och rad 1 är lika D 0 )
Svar: i) Oändligt många om a 3
ii) Om a 3 två lösningar x1 7 och x2 4 a
Uppgift 13 ) ( 5 poäng)
a) Beräkna höjden genom D och volymen av pyramiden ABCD då
A=(0,1,2), B=(1,1,4), C=(4,7,6) och D=(3,4,-4)
Svar: V=10, basytansarea=7, h=30/7
Lycka till!
