Tentamen i matematik
Bred ingång termin 4 - CBGB04
Ansvarig lärare: Martin Brundin, matematik, Karlstads Universitet.
Telefon: 070-88 55 395.
Datum: 2008-03-28, 0815 − 1315 .
Hjälpmedel: Beta - Mathematics Handbook.
Tentan består av två delar, en LA-del (75 poäng) och en F-del (25 poäng). För godkänt resultat (betyg 3)
skall du sammanlagt ha minst 50 poäng, varav minst 30 på LA-delen och minst 10 på F-delen. Till LA-delen
får du addera din bonuspoäng, du kan dock som mest få 75 poäng på LA-delen. OBS! För full poäng krävs
fullständiga lösningar om inte annat anges!
Del 1 - Linjär Algebra (LA)
1
(1) Låt W
2
1
=Span {
1 , 3 , 2}.
1
4
3
(a) Visa att W är planet med ekvation x − 2y + z = 0.
(5p)
(b) Ange en ortogonal bas för W .
(5p)
(c) Bestäm standardmatrisen för den linjära avbildning T : R3 → R3 som
projicerar vektorer ortogonalt på W .
(10p)
(2) Avgör, utan motivering, för vardera påstående nedan om det är sant (S) eller
falskt (F). För varje rätt svar får du +3 poäng, men du får också -3 poäng för
varje fel svar. Du behöver inte svara på alla frågor. Du kan aldrig få mindre än
noll poäng på hela uppgiften. Obs! Lämna inte in lösningar, endast svar.
(a) Om H är mängden av alla polynom av grad högst 1 så är hp, qi = p(0)q(0)+
p(1)q(1) en inre produkt på H.
(3p)
(b) Om 3 vektorer i R5 är parvis ortogonala, och samtliga har längd 1, så är
de automatiskt linjärt oberoende.
√
(c) Avbildningen T : R3 → R given av T (x, y, z) = x − y − z 2 + 1 är linjär.
(3p)
(3p)
(d) En kvadratisk matris har linjärt oberoende rader om och endast om den
har linjärt oberoende kolonner.
(3p)
(e) Det kan finnas vektorer v 6= 0 som ligger i både W och W ⊥ , där W är en
linje genom origo i R3 .
(3p)
"
#
7 6
(3) Låt A =
.
2 3
(a) Bestäm A:s egenvärden och egenvektorer.
(10p)
(b) (Svår) Bestäm en matris B sådan att B 2 = A.
(5p)
1 −2 1
(4) Låt A = 2 a 0.
3 0 2
(a) Bestäm talet a ∈ R så att det A = 1.
(5p)
(b) För detta värde på a, bestäm Nul A och Col A. (Tips: Inga kalkyler är
nödvändiga.)
(5p)
(c) För detta värde på a, bestäm A−1 .
(5p)
1
0
1
2
1
0
0 , v2 = 0 och v3 = 1 är (uppenbarligen) linjärt
(5) Vektorerna v1 =
2
−3
−2
1
2
1
oberoende. Bestäm en ortogonal bas för Span{v1 , v2 , v3 }.
(10p)
Del 2 - Fouriers Metod (F)
(6) Homogenisera (men lös ej!) problemet
∂2u
∂u
∂t
− ∂x2 = 0,
0 < x < 1,
u(0, t) = t, u(1, t) = 1, t > 0
u(x, 0) = x
0<x<1
(5p)
t>0
(7) Betrakta vågekvationen
(
∂2u
∂t2
(10p)
2
− ∂∂xu2 = 0
0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0
utan begynnelsevillkor. Utför en variabelseparation på problemet, inklusive alla
steg, d.v.s. avgör vilka icketriviala lösningar på formen u(x, t) = X(x)T (t) som
problemet har.
(8) Lös det stationära värmeledningsproblem som i polära koordinater1 ges av
∆u = 0,
1 < r < 2,
u(r, 0) = u(r, π) = 0,
1<r<2
u(1, θ) = sin θ, u(2, θ) = − sin 2θ, 0 < θ < π
1I
1
1
polära koordinater gäller att ∆u = urr + ur + 2 uθθ .
r
r
0<θ<π
(10p)
