Extra uppgifter - math.chalmers.se

Naturvetarmatematik för Kemister
Linjär Algebra
Blandade räkneuppgifter
1.
Ange nollrum och kolonnrum till följande matris:
1  6

0 1
A
0 0

0 0

2.
1

0
Är matrisen A  
0

0

 2

2 4 5 
0 5
1 

0 0
0 
9
0
1

3 0 2 
diagonaliserbar?
0 3  5

0 0 1 
2 4
3.
Ange, för olika värden på parametern p, antalet lösningar till ekvationssystemet
2 x  py  z 
1


 4z  3 p 1
 p  1x

x  3y  2z 
1

4.
Antag att matrisen A är m 1 och matrisen B är 1 n . Hur stor blir matrisen AB ?
Visa att rang AB  1
Visa att det i själva verket gäller, för godtyckliga matriser A och B sådana att
produkten AB existerar, att rang AB  rang A
5.
Låt F vara avbildningen ”spegling i planet 2 x  y  3z  0 ”, och S avbildningens
matris.
Ange determinanten för S.
Vilka är egenvärdena till S?
Vilka är egenvektorerna till S?
Är S diagonaliserbar?
Bestäm S.
1
6.
Visa att för en diagonaliserbar matris är determinanten lika med produkten av
egenvärdena.
7.
Låt F: 3  3 vara avbildningen ”projektion i planet 3x  4 y  z  0 ”. Ange en
ny bas för  3 sådan att F kan skrivas: F  y1 , y2 , y3    y1 , y2 , 0
8.
En trädgårdsmästare sköter en stor population av plantor som alla bär på en av tre
tänkbara genpar: AA, Aa och aa. Trädgårdsmästaren bestämmer sig för att
genomföra ett förädlingsprogram där varje planta alltid paras med en planta med
samma genpar.
Låt pn , qn , rn beteckna andelen plantor med respektive genpar AA, Aa och aa i
generation n. Bestäm ett uttryck för pn , qn , rn som bara beror av p0 , q0 , r0 . Vad
händer då n   ?
9.
Hitta bristerna i följande resonemang:
Påstående: Varje matris A är diagonaliserbar.
Bevis: Vi skall visa att det existerar en matris P sådan att AP  PD där D är
diagonal.
Välj n egenvektorer, v1 , v2 , , vn till A. Det går alltid eftersom det till ett och
samma egenvärde finns oändligt många egenvektorer. Låt P  v1 v2  vn .
Då är AP  Av1 Av2  Avn   1v1 2v2  n vn 
10.
11.
Låt  vara en vektor med   1 . Sätt H  E  2 t , där E är enhetsmatrisen.
Visa att H är symmetrisk och ortogonal.
Låt f : 4  4 vara en linjär avbildning definierad av f x   Ax dä
 2 1 0 2


 1 0 0 1
A
1  1 1 0


4

1
2
2


Bestäm alla vektorer som inte ligger i värdeförrådet till f (Range).
Bildar dessa vektorer ett underrum?
2
a2
12.
13.
14.
15.
16.
2
Visa att b
c2
a 1
b 1  b  a c  a b  c 
c 1
Visa att om An  0 för något positivt heltal n, då är det A  0
Antag att S  v1 , v2 , v3  är en linjärt oberoende mängd vektorer i ett vektorrum V.
Är T  w1 , w2 , w3 , där w1  v1  v2 , w2  v1  v3 , w3  v2  v3 , linjärt beroende
eller linjärt oberoende? Motivera!
Låt A vara en m  n -matris där m  n . Visa att antingen raderna eller kolonnerna
i A är linjärt beroende.
a b d 


Låt M   0 c e  där a, c och f är  0 .
0 0 f 


Bestäm en ortonormerad bas för kolonnrummet till M.
17.
Av alla vektorer i  n vars komponenter summeras till 1, bestäm den kortaste.
Illustrera i fallet n  2 .
18.
  1   2   
2
      
 
0
   1   3   
 
Bestäm den ortogonala projektionen av   på Span   ,    
1
  2   4   
 
   2   5   
 3


19.
 a2 
 1  1  0 
 
     
Bestäm talet a så att  a   Span  2 , 1,  1 
1
 3  1  2 
     
 
3
20.
 2 
 
Bestäm en ortonormerad bas till  , där   Span   1
 4 
 
21.
Visa att om A är en kvadratisk skevsymmetrisk At  A  0 matris, är x t Ax  0
22.
Beräkna avståndet från punkten 2,3,1 till planet 3x  2 y  z  0 .
Ledning: bestäm först en ON-bas till planet.
23.



Avgör om den kvadratiska formen q  2 x1  3x2  3x3  4 x2 x3 är positivt
definit.
2
2
2
4