Växjö universitet
Matematiska och systemtekniska institutionen
Marcus Nilsson
Tentamen i Vektorgeometri, MA1021, 7.5 hp
Måndagen den januari , klockan –.
Tentamensutdelning sker måndagen den 19/1 i D0043, 12.00-12.30.
Tillåtna hjälpmedel: Ej miniräknare
1. För vilka värden på det reella talet a är matrisen
1 a −1
a 0
1
1 −1 1
INTE inverterbar.
(5p)
2. Låt u = (1, 2, 3) vara en vektor i rummet. Vi inför nu en ny bas (f1 , f2 , f3 ) i rummet
där
f1 = (1, 0, 1),
f2 = (0, 1, 2),
f3 = (−2, 2, 1).
Visa att den nya basen verkligen är en bas och bestäm u:s koordinater i den nya
basen.
(5p)
3. Låt u och v vara två vektorer i rummet.
(a) Hur definieras u + v?
(1p)
(b) Hur definieras tu, där t är ett reellt tal?
(1p)
(c) Hur definieras skalärprodukten u · v?
(1p)
(d) Hur definieras vektorprodukten u × v?
4. Bestäm minsta avståndet mellan punkten (1, 3, 3) och
linjen (x, y, z) = (1 + t, 2 − t, −1 + 3t). (ON-bas)
(2p)
(5p)
5. Bestäm matrisen för speglingen i planet
3x + y + 4z = 0.
Bestäm också spegelbilden av vektorn (1, 0, −1). (ON-bas)
(5p)
6. (a) Bestäm egenvärden och en ON-bas av egenvektorer till matrisen
1 −1
A=
−1 1
(b) Bestäm An , där n är ett positivt heltal.
7. Bestäm nollrummet och värderummet
matrisen
−2
2
−1
(3p)
(2p)
till den avbildning som i någon ON-bas har
4
14
−2 −10 .
(5p)
2
7
8. Låt u, v och w vara vektorer i rummet. Visa att volymen av den parallellepiped som
spänns upp av u, v och w ges av absolutbeloppet av Volymfunktionen
V (u, v, w) = (u × v) · w.
Lycka till!
(5p)
