Linjär algebra, 2010-03-12, 14.15-19.00
Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
Alla inlämnade papper skall vara försedda med namn.
Vi förutsätter att alla koordinater är givna i en högerorienterad ON-bas.
Miniräknare är inte tillåten.
1. (a) Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P : (2, 4)
och Q : (4, 0). Ekvationen skall bestämmas både på parameterform
och affin form.
0.4 p
(b) Dela upp vektorn u = (3, −2, 1) i två vinkelräta komposanter, där
den ena kompostanten är parallell med vektorn v = (1, 1, 2).
0.6 p
2. (a) De tre punkterna P : (0, 1, 2), Q : (3, 2, 1) och R : (4, −1, 0) definierar
ett plan. Bestäm planets ekvation på affin form.
0.5 p
(b) Beräkna determinanten
1
4 2
2 −1 1
3
0 3
0.3 p
(c) Ange den geometriska tolkningen av en 3 × 3 determinant.
3. (a) Bestäm skärningspunkten mellan linjen `
x = 2+t
y = 1 + 2t ,
z = 3+t
0.2 p
t∈R
och xy-planet.
0.2 p
(b) Bestäm vinkeln mellan xy-planet och linjen `.
(c) Avgör om u = (3, 2, 0), v = (1, −1, 5) och w = (7, 4, 5) utgör en bas i
0.5 p
R3 .
0.3 p
4. (a) Finns det något värde på a sådant att Ax = b har oändligt många lösningar?
Finn värdet på a och lös ekvationssystemet i detta fallet.
1
1 1
−7
A = 2 −1 1 , b = 13
a
1 3
−1
0.6 p
(b) En triangel har hörn i punkterna P : (−1, 0, 0), Q : (1, 2, 3) och R : (1, 1, 1).
Bestäm triangelns area.
0.4 p
Var god vänd!
5. (a) Vi har matriserna
1 −3 −2
1 −1 ,
A= 0
−2
3
7
−5
B= 4
−2
Beräkna AT B.
0.3 p
(b) Lös matrisekvationen DXQ = M där
1 0 1
2 2
D=
, Q = 0 1 1 ,
0 1
1 1 0
M=
1 0 −1
1 2 1
0.7 p
6. (a) Bestäm det kortaste avståndet mellan linjerna
x= 1+ t
y = −2 + 2t
`1 :
och `2
z = 3− t
x = −3 + t
y = −2 − t
:
z = 3+t
0.5 p
(b) Spegling i linjen 2x1 + x2 = 0 definierar en linjär avbildning y = Ax.
Bestäm avbildningen av e1 = (1, 0) och e2 = (0, 1) samt ange A
Vilken punkt (x1 , x2 ) ger upphov till spegelpunkten (y1 , y2 ) = (1, 0)?
Grafiska lösningar accepteras ej, utan avbildningarna skall räknas fram.
Lycka till!
2
0.5 p
