Tentamen i matematik
Bred ingång / Kemiteknik termin 4 - CBGB04 / CKGB40
Ansvarig lärare: Martin Brundin, matematik, Karlstads Universitet.
Telefon: 073 - 50 555 56.
Datum: 2008-08-21, 0900 − 1400 .
Hjälpmedel: Beta - Mathematics Handbook.
Tentan består av två delar, en LA-del (75 poäng) och en F-del (25 poäng). För godkänt resultat (betyg 3) skall
du sammanlagt ha minst 50 poäng, varav minst 30 på LA-delen och minst 10 på F-delen. Till LA-delen får du
addera din bonuspoäng (för sista gången!!!), du kan dock som mest få 75 poäng på LA-delen. OBS! För full
poäng krävs fullständiga lösningar om inte annat anges!
Del 1 - Linjär Algebra (LA)
h
(1) Lös ekvationssystemet Ax = −9 5 7 11
1
0 0
−1 1 0
A=
2 −5 1
−3 8 3
iT
där
(10p)
0 3 −7 −2 2
0
0 −2 −1 2
.
0 0 0 −1 1
0 −1
1 0 0
(2) Låt A vara standardmatrisen till den linjära avbildning T : R2 → R2 som
först projicerar vektorer ortogonalt på linjen y = x, därefter roterar dem π/12
radianer moturs, och slutligen projicerar dem ortogonalt på x-axeln.
(a) Bestäm A.
(5p)
(b) Bestäm Col A (möjlig att lösa utan (a)).
(5p)
(c) Bestäm A:s egenvärden (möjlig att lösa utan (a) eller (b)).
(5p)
(3) Avgör, utan motivering, för vardera påstående nedan om det är sant (S) eller
falskt (F). För varje rätt svar får du +3 poäng, men du får också -3 poäng för
varje fel svar. Du behöver inte svara på alla frågor. Du kan aldrig få mindre än
noll poäng på hela uppgiften. Obs! Lämna inte in lösningar, endast svar.
(a) Mängden av alla polynom (med reella koefficienter) av minst grad 2 (med
vanlig addition och multiplikation med skalär) är ett vektorrum.
(3p)
(b) Mängden {u, v, u + v}, där u, v ∈ V och V är ett vektorrum, är linjärt
beroende.
(3p)
(c) Avbildningen T : R3 → R given av T (x, y, z) = x2 + y 2 − 2z 2 är linjär.
(3p)
(d) Produkten A(BC)T är en 4 × 3-matris, om A är 4 × 7, B är 2 × 3 och C är
(3p)
3 × 7.
(e) Om W är planet x − y + z = 0 i R3 så gäller att W ⊥ =Span{(−1, 1, −1)}.
(3p)
−1 4 −2
(4) Låt A = −3 4 0 .
−3 1 3
(a) Visa att A:s egenvärden är λ = 1, 2, 3.
(8p)
(b) Bestäm Col A och Nul A.
(8p)
(c) Byt ut exakt ett (valfritt) element i matrisen så att den nya matrisens
determinant blir 0 (samt visa detta).
(8p)
(5) Låt uttrycket q(x, y) = x2 +axy+by 2 , där a, b är givna reella tal, vara"givet (en så
#
1 a/2
kallad kvadratisk form i variablerna x och y). Definiera vidare A =
.
a/2 b
" #
x
. (Detta innebär att all information om q
y
naturligt kan samlas i den symmetriska matrisen A.)
h
i
(a) Visa att q(x, y) = x y A
(5p)
(b) Man kan enkelt visa att matrisen A är diagonaliserbar och har endast reella
egenvärden, men det behöver du inte göra. Du kan utgå från att vi vet att så
är fallet. Visa att q är positivt definit, d.v.s. att q(x, y) > 0 närhelst (x, y) 6=
(0, 0), om och endast om A:s egenvärden är positiva. (I sin förlängning visar
detta att kvadratiska former, som dyker upp i alla tänkbara sammanhang
av matematiken, kan karakteriseras med hjälp av linjär algebra.)
(6p)
Del 2 - Fouriers Metod (F)
(6) Utveckla funktionen f (x) = cos x, x ∈ [0, π], i sinusserie. Rita också översiktligt
grafen “y = Fourierserie”, x ∈ R.
(5p)
(7) Problemet
(10p)
∂u
∂t
∂2u
− ∂x2 = 0,
0 < x < 1,
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x2 (1 − x)
0<x<1
har en lösning på formen u(x, t) =
P∞
k=1
t>0
Tk (t) sin (kπx). Bestäm Tk (t).
(8) Lös det stationära värmeledningsproblemet
∆u = 0,
0 < x < π, 0 < y < π
u(x, 0) = u(x, π) = 0,
0<x<π
u(0, y) = sin (2y), u(π, y) = sin (y), 0 < y < π
(10p)
