Övningsprogram för veckorna 4 och 5

I1: Linjär algebra vt09
Övningsprogram för veckorna 4 och 5
Några viktiga definitioner från kapitel 5
Alla dessa skall man kunna redogöra för.
Kapitel 5: egenvektor, egenvärde, egenrum, karakteristiska ekvationen, karakteristiska polynomet, diagonalisering, diagonaliserbar.
Några lästips
5.1: Hela detta är viktigt för fortsättningen.
5.2: Eftersom vi redan behandlat determinanter kan man läsa exempel 1 och sedan hoppa fram till
karakteristiska ekvationen på sid 329. Läs exemplen 3 och 4 och hoppa fram till exempel 5 på sidan
331. Detta exempel är viktigt att man förstår, men samma typ av räkningar återkommer sedan i avsnittet
5.6
5.3: Hela viktigt.Innehållet i sats 7 på sidan 340 skall man vara säker på.
5.4: Detta kan den intresserade läsa som en orientering.
5.5: Detta gör vi ganska översiktligt. Man skall förstå exempel 6,tro på sats 9 på sidan 356 och förstå
vad detta innebär för Ak om A har komplexa egenvärden
5.6: Detta är ett tillämpningsavsnitt där huvudsyftet är att man skall förstå hur uppförandet av ett diskret
dynamiskt system beror på storleken på matrisens egenvärden. Eftersom detta varit en röd tråd i vår
kurs är det idé att lägga en del arbete på detta avsnitt. Huvudresultatet som används är det som står på
översta delen av sid 359 och som leder fram till formeln (2). I exemplen visas sedan vilka konsekvenser
detta har för olika kombinationer av egenvärden Man skall också observera den alternativa metoden som
startar längst ner på sid 363.
5.7: Detta är den kontinuerliga motsvarigheten till avsnittet 5.6.Läs fram till och med sidan 374. Men
lägg inte ner så mycket energi på terminologin med sänkor och källor. Huvudresultatet är det som
kommer fram i lösningen av exempel 1 på sidan 361. Det kan sammanfattas i följande. Antag att A är
en n × n-matris med n olika egenvärden λ1 , . . . , λn med tillhörande egenvektorer v1 , . . . , vn . För att
lösa systemet x0 (t) = Ax(t) med x(0) givet kan man göra så här.
1. Framställ x(0) i basen {v1 , . . . , vn } genom
x(0) = c1 v1 + . . . + cn vn
2. Då gäller
x(t) = c1 eλ1 t v1 + . . . + cn eλn t vn
Övningsuppgifter
5.1: 1,3,5,22,25; 5.2: 1,5,7,9,18; 5.3: 3,15,17,22,23,24,26; 5.5: 1,13; 5.6: 1,7,5,17a,b; 5.7: 1,5,7;
Extra övningsuppgifter
1. Följden {yk } satisfierar differensekvationen
yk+2 − 1.2yk+1 + 0.35yk = 3
med y0 = a och y1 = b. Undersök om följden har något gränsvärde då k → ∞ och bestäm i så
fall detta.
2. Antag att A är en kvadratisk matris sådan att A = P DP −1 , där D är en diagonalmatris. Visa att
om Am = 0 för något heltal m så är A = 0.
3. Låt A vara standardmatrisen för den linjära operator på rummets punkter som projicerar varje
punkt parallellt med vektorn (1, 2, 3) på planet x + y + z = 0.
(a) Bestäm alla egenvärden och egenvektorer till A. (Går utan att räkna!)
(b) Bestäm A, genom att utnyttja (a).
4. Diagonalisera matrisen

1
A=
2

2
0
0
1 −1 −1 
−2
6
4
Bestäm sedan gränsvärdet av Am då m → ∞.
5. Visa att matrisen


−1 −2 −1
 8
8
4 
−4 −3
0
inte är diagonaliserbar.
6. Lös följande system av differentialekvationer:
3x0 (t) = −5x(t) +
3y 0 (t) =
8x(t) −
4y(t)
y(t)
med x(0) = y(0) = 1.
7. Låt T vara den linjära avbildning som definieras av matrisen


5 −2 4
1
−2
8 2 
9
4
2 5
Visa att T avbildar varje vektor på dess ortogonala projektion i något plan genom origo. Bestäm
även planets ekvation.
Svar :
1. Gränsvärdet är 20.
2. —–
3. Matrisen är


5 −1 −1
1
−2
4 −2 
6
−3 −3
3
och egenvärdena är 0 och 1. Motsvarande egenvektorer är alla vektorer parallella med (1,2,3)
respektive alla vektorer i planet x + y + z = 0.
4. A = P DP −1 där

1
D= 0
0
Gränsvärdet av Am är
0
1
0


0
3
0  , P = 1
0.5
0


1
0
0
 1 −2 −1 
−2
6
3
5. Egenvärdena är 2 och 3. Undersök egenrummen!
6. x(t) =
2 t 1 −3t
e + e
3
3
7. Planet är 2x1 + x2 − 2x3 = 0
Svar till några av bokens uppgifter.
5.1:22 (c) och (e) sanna, övriga falska.
5.2: 18 h = 6.
5.3:22 (c) sant, övriga falska.
5.3:24 Nej enligt sats 7(b).
5.3:26 Ja, summan av egenrummens dimensioner är bara 6.

1
0
0
1 
1 −2
Några uppgifter med lösningar på hemsidan
1. Antag att A och B är två kvadratiska matriser av samma typ och att vektorn v är en egenvektor
både till B och till AB.
(a) Bevisa att om B är inverterbar så är v egenvektor också till matrisen A.
(b) Visa genom ett exempel att påståendet i (a) inte behöver vara sant om man tar bort förutsättningen att B är inverterbar.
2. Låt

1 a
A= 0 1
0 0

2
3 .
0.5
Undersök för vilka a som matrisen A är diagonaliserbar. Bestäm för eventuella sådana a gränsvärdet
av An då n → ∞.
3. Betrakta för varje reellt tal a matrisen


a 1 1
A =  1 a 1 .
1 1 a
(a) Bevisa att vektorn [1 1 1]T är en egenvektor till A oavsett värdet på a. Vilket är tillhörande
egenvärde?
(b) Bevisa att a − 1 är ett egenvärde till A och bestäm alla tillhörande egenvektorer.
(c) Kan A ha fler egenvärden än de som dyker upp i (a) och (b)? Motivera ditt svar!
4. Matrisen
A=
1 2
2 a
har vektorn
1
1
som en egenvektor.
(a) Bestäm talet a och matrisens samtliga egenvärden och egenvektorer.
(b) Betrakta det diskreta dynamiska systemet xn+1 = Axn , n = 0, 1, 2, . . . , med x0 = [1 0]T .
Bestäm xn .
5. Antag att matrisen A är sådan att A = P DP −1 där



1 0 1
1
P =  1 1 2  och D =  0
2 1 1
0
0
3
0

0
0 
5
(a) Antag att xn = [xn yn zn ]T uppfyller xn+1 = Axn för n = 0, 1, 2, . . ., med x0 = [1 1 1]T .
Bestäm zn .
(b) Antag att för x(t) = [x(t) y(t) z(t)]T gäller x0 (t) = Ax(t) med x(0) = [1 1 1]T . Bestäm
y(t).
6. Låt

1
A= 0
0

2 3
2 a .
0 2
Undersök för vilka värden på a som matrisen A är diagonaliserbar. Bestäm för eventuella sådana
a-värden en matris P och en diagonalmatris D så att A = P DP −1 och beräkna sedan An P för
godtyckliga positiva heltal n.
7. Låt


2
2 −1
3 −1  .
A= 1
−1 −2
2
Ett egenvärde till A är 1, en egenvektor till ett annat egenvärde är [−1 − 1 1]T . Bestäm den
lösning, x = x(t), till systemet
x0 = Ax
som uppfyller x(0) = [1 1 1]T
8. Antag att vi i en djurpopulation varje år studerar antalet honor. De delas in i två kategorier,
vuxna=de som föddes föregående år eller tidigare och unga=de som fötts under året.Man beskriver populationens förändring genom följande modell. Antag att av dem som fötts ett år överlever
en fjärdedel till att bli vuxna året därpå, medan av dem som är vuxna överlever hälften till det
efterföljande året. Vidare antar vi, att varje vuxen hona som överlever till efterföljande år då föder
fyra unga honor. Däremot föder ingen hona ungar under det första året som vuxen. Antag vidare
att det det år man börjar studien finns 150 vuxna och 60 unga. Undersök, dels hur många vuxna
respektive unga honor det finns k år efter studiens början, dels vad som händer på lång sikt.
9. Visa att matrisen

4
1
A=  0
5
3

0
3
5
0 
0 −4
är matris för en avbildning som geometriskt svarar mot spegling i ett plan genom origo. Vilket är
planet?
10. Antag att A är standardmatrisen för den linjära avbildning som geometriskt betyder ortogonalprojektion av rummets punkter på planet
x1 + x2 + x3 = 0.
Bestäm den lösning till följande system av differentialekvationer
x0 (t) = Ax(t)
som uppfyller


1
x(0) =  1  .
−2
Motivera väl!
11. Låt som vanligt P2 vara vektorrummet av polynom av grad högst 2. Betrakta den linjära avbildning T : P2 → P2 som definieras genom
T (a + bx + cx2 ) = (a + 2c) + 3bx + (2a + c)x2 .
(a) Om vi tar p(x) = 1 + x + x2 så finns tal λ så att T (p(x)) = λp(x). Bestäm detta tal λ.
(b) Bestäm alla polynom p(x) i P2 för vilka det finns ett tal λ så att T (p(x)) = λp(x).