MALMÖ HÖGSKOLA
Teknik och samhälle
Tentamensskrivning
LINJÄR ALGEBRA
2004-04-16 kl 14.15-19.15
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
I samtliga uppgifter förutsätts en positivt orienterad ortonormerad bas.
1. Givet vektorerna ~u = (1, −1, 2) och ~v = (0, 1, 2)
a) bestäm cosinus för vinkeln mellan ~u och ~v ,
(0.5)
b) bestäm alla enhetsvektorer som är vinkelräta mot både ~u och ~v .
(0.5)
2. Betrakta planet π och linjen l som ges av ekvationerna
x= 2+s+t
y = 1 + 2s − t
π:
l : (x, y, z) = (1, 2, 1) + t(1, 5, 1).
z=
2s + 3t
a) Bevisa att linjen l och planet π saknar skärningspunkter.
(0.3)
b) Bestäm avståndet mellan linjen l och planet π.
(0.3)
c) Bestäm ekvationen på affin form till det plan som innehåller linjen l och är vinkelrätt mot planet π.
(0.4)
3. a) Punkterna A, B och C ligger i nämnd ordning utefter en rät linje. Avståndet
mellan A och B är 4 gånger så stort som avståndet mellan B och C. Beräkna
koordinaterna för punkten B om A : (1, 0, 2) och C : (−1, 2, 1).
(0.5)
b) Visa att vektorerna
~u = (1, 0, 1), ~v = (0, 1, 1), w
~ = (1, 2, 3)
spänner upp ett plan. Bestäm planets ekvation så att det innehåller origo. Bestäm
också en ortonormerad bas ~e1 , ~e2 så att ~e1 är parallell med vektorn ~u och ~e2 är
ortogonal mot planet.
(0.5)
1 1 2
4.
a) Bestäm inversen till matrisen 2 1 1 .
(0.5)
−1 2 3
b) Avgör om matrisen
1 2 2
1
A = 2 1 −2
3
−2 2 −1
är ortogonal.Glöm inte
att motivera!
1 6 6
Låt B = 0 3 2 . Lös matrisekvation (XA)T = A−1 B.
0 1 0
(0.5)
VAR GOD VÄND!
5. En linjär avbildning F : R3 7→ R3 överför de tre vektorerna
~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (1, 1, 0) och ~v3 = (0, 1, 1)
på vektorerna
~v1 0 = (0, 0, 1), ~v2 0 = (−1, 0, 1) och ~v3 0 = (0, 1, 0).
Ange matrisen för avbildningen F. Beräkna F(2~v1 + 3~v2 ).
(1.0)
6. a) En linjär avbildning i planet ges av spegling i linjen 2x1 + 3x2 = 0. Beräkna
avbildningens matris.
(0.7)
b) Avbildningen G : R3 7→ R3 kan beskrivas som spegling i planet
x + y + z = 1.
Avgör om G är linjär.
(0.3)
LYCKA TILL!
