MATEMATIK
Chalmers Tekniska Högskola
Skriv namn och personnummer
på varje inlämnat papper,dessutom
linje och inskrivningsår på omslaget.
Tentamensskrivning:
TMA790B Matematisk analys I
Datum: 1998-12-19 kl 14.15-18.15
Hjälpmedel: Typgodkänd räknare
Telefonvakt: Vladislav Panferov 772 5338
Lösningar läggs in på kursens hemsida senast måndag den 21 december och skrivningarna beräknas vara färdigrättade den 4:e januari. Lycka till!/J-E A
1. (a) Bestäm på formen rötterna till ekvationen
(b) Bestäm alla komplexa sådana att .
2. Ett plan innehåller punkten !#" och är parallellt med vektorerna #"
(Ortonormerat högersystem.)
(a) Bestäm planets ekvation på formen &(' )+*,-./1023 .
(b) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten .4" .
(c) Bestäm avståndet mellan planet och punkten " .
3. (a) Bestäm för varje reellt tal 5 antalet olika reella rötter till ekvationen
8 ' :5 9
7' 6 ' ; ' ;</3
, där 7=#=<
(b) Kan en ekvation av formen ' 6 ;
(5p)
(2p)
och
$%#" .
(3p)
(2p)
(1p)
(5p)
alla är reella tal ha egenskapen
att av rötterna är två reella och en icke-reell? Motivera ditt svar.
(1p)
(c) Definiera vad som menas med att en ekvation av typen i (b) har en dubbelrot.
(1p)
4. Beräkna
>@? ' 4"DC '
A 'B' (6p)
5. I en formelsamling hittar man att formeln
> ? 7' FG A
I
E H ' C ' LJ KNM I "
gäller om integralen är konvergent.
(a) Undersök för vilka reella tal som integralen är konvergent.
(b) Använd formeln för att för varje positivt heltal O bestämma
> ?
(4p)
(3p)
?G ' P C '
VÄND!
1
6. Figuren nedan visar grafen för en kontinuerlig funktion *;2Q
vallet S %UTWV som definitionsmängd en funktion XYR' " genom
R' " .
Vi definierar nu med inter-
>1[
Q "
E R\ C \U9
XYR' "Z
Bestäm med ledning av figuren dels alla punkter som ger lokala maxima och minima för XYR' " ,
dels på vilka delintervall funktionen XYB' " är konvex respektive konkav. Du måste noga motivera
hur du drar dina slutsatser, det räcker inte med bara svar.
(5p)
y
2
y=f(x)
1
1
x
2
3
4
5
-1
7. (a) Vad menas med en linjärkombination av två vektorer ]_^ ]a` ?
(b) För vilka värden på talet är vektorn !b" en linjärkombination av vektorerna
och U$%=4" ?
(c) Vad menas med att vektorerna ]_^ ]c` ]cd är linjärt beroende?
(d) Hur definieras skalärprodukten av två vektorer?
(e) Ange en vektor som är parallell med vektorn U$b4" men som har längden 2.
(ON-system.)
(1p)
$%!4"
(2p)
(1p)
(1p)
(1p)
8. Formulera och bevisa Rolles sats. Var noga med att i formuleringen ta med förutsättningarna
och att i beviset påpeka när dessa används.
(6p)
2
