MATEMATIK Chalmers Tekniska Högskola Skriv namn och personnummer på varje inlämnat papper,dessutom linje och inskrivningsår på omslaget. Tentamensskrivning: TMA790B Matematisk analys I Datum: 1998-12-19 kl 14.15-18.15 Hjälpmedel: Typgodkänd räknare Telefonvakt: Vladislav Panferov 772 5338 Lösningar läggs in på kursens hemsida senast måndag den 21 december och skrivningarna beräknas vara färdigrättade den 4:e januari. Lycka till!/J-E A 1. (a) Bestäm på formen rötterna till ekvationen (b) Bestäm alla komplexa sådana att . 2. Ett plan innehåller punkten !#" och är parallellt med vektorerna #" (Ortonormerat högersystem.) (a) Bestäm planets ekvation på formen &(' )+*,-./1023 . (b) Bestäm den punkt i planet som ligger närmast punkten .4" . (c) Bestäm avståndet mellan planet och punkten " . 3. (a) Bestäm för varje reellt tal 5 antalet olika reella rötter till ekvationen 8 ' :5 9 7' 6 ' ; ' ;</3 , där 7=#=< (b) Kan en ekvation av formen ' 6 ; (5p) (2p) och $%#" . (3p) (2p) (1p) (5p) alla är reella tal ha egenskapen att av rötterna är två reella och en icke-reell? Motivera ditt svar. (1p) (c) Definiera vad som menas med att en ekvation av typen i (b) har en dubbelrot. (1p) 4. Beräkna >@? ' 4"DC ' A 'B' (6p) 5. I en formelsamling hittar man att formeln > ? 7' FG A I E H ' C ' LJ KNM I " gäller om integralen är konvergent. (a) Undersök för vilka reella tal som integralen är konvergent. (b) Använd formeln för att för varje positivt heltal O bestämma > ? (4p) (3p) ?G ' P C ' VÄND! 1 6. Figuren nedan visar grafen för en kontinuerlig funktion *;2Q vallet S %UTWV som definitionsmängd en funktion XYR' " genom R' " . Vi definierar nu med inter- >1[ Q " E R\ C \U9 XYR' "Z Bestäm med ledning av figuren dels alla punkter som ger lokala maxima och minima för XYR' " , dels på vilka delintervall funktionen XYB' " är konvex respektive konkav. Du måste noga motivera hur du drar dina slutsatser, det räcker inte med bara svar. (5p) y 2 y=f(x) 1 1 x 2 3 4 5 -1 7. (a) Vad menas med en linjärkombination av två vektorer ]_^ ]a` ? (b) För vilka värden på talet är vektorn !b" en linjärkombination av vektorerna och U$%=4" ? (c) Vad menas med att vektorerna ]_^ ]c` ]cd är linjärt beroende? (d) Hur definieras skalärprodukten av två vektorer? (e) Ange en vektor som är parallell med vektorn U$b4" men som har längden 2. (ON-system.) (1p) $%!4" (2p) (1p) (1p) (1p) 8. Formulera och bevisa Rolles sats. Var noga med att i formuleringen ta med förutsättningarna och att i beviset påpeka när dessa används. (6p) 2