CIT

MAB8 Prov Besvara 7 uppgifter FACIT
1. a) Bestäm vektorn AB , då A = (10, 4) och B = (9, −7). b) Beräkna punktprodukten av
vektorerna a  11i  3 j och b  5i  8 j .
Svar: a)
AB   9  10  i   7  4  j  i  11 j
b) a b  11  5   3  8  55  24  79
2. a) Beräkna längden av vektorn a  20i  99 j . b) Bestäm vektorn a  3b  5c , då
a  8i  2 j , b  6i  4 j och c  i  12 j .
Svar: a) Vektorns längd är:
a  202   99   101
2
b) Vi använder de givna vektorerna:
a  3b  5c  8i  2 j  3 6i  4 j  5 i  12 j 

 

8i  2 j  18i  12 j  5i  60 j  15i  50 j
3. a) Bestäm sin α.
Svar: Hypotenusans längd är x  22 
sin  
2
15
 11
2
 15 . Enligt definitionen är
b) En vinkel α har spetsen i enhetscirkelns mittpunkt. Det ena vinkelbenet
sammanfaller med x-axeln och det andra benet skär enhetscirkeln i
punkten P = (0,15;0,32). Beräkna sin α, cos α och tan α.
Svar: Enligt definitionen är
sin   y  0,32
cos   x  0,15
sin  y 0,32
Rätvinkliga triangelns geometri ger tan  
 
 2,13
cos  x 0,15
4. a) Omvandla till radianer: 14° b) Omvandla till grader:
2
15
.
14
x
2   14 7

x

360 2
360
90
2 360

 24
b)
15
15
Svar: a)
5. Vektorerna AC  a och BD  b utgör diagonaler i parallellogrammet ABCD. Bestäm
sidovektorerna AB och AD , då a  9 i  3 j och b  3i  2 j .
Svar:
Vi får sidovektorn AB genom att addera hälften av AC och hälften av DB ,
eftersom diagonalerna i en parallellogram halverar varandra.
1
1
1
1
AB  a  b  9 i  3 j  3i  2 j
2
2
2
2
9 3
3 2
6 5
 i  j  i  j  i  j  3i  2,5 j
2 2
2 2
2 2
Vi får AD genom att addera hälften av AC och hälften av BD :
1
1
9 3
3 2
AD  9i  3 j  3i  2 j  i  j  i  j
2
2
2 2
2 2
12 1
1
 i  j  6i  j
2
2
2
 

 

 


6. I en triangel är en sida 5,2 m lång, och dess motstående vinkel 150°. En annan sida är
3,4 m lång. Hur stor är dess motstående vinkel?
Svar:
Sinussatsen:
Vi får för vinkeln alfa:
  19,1  n  360 eller   180  19,1  n  360  160,9  n  360
Enbart 19,1 grader kan godkännas, för vinkelsumman i en triangel är 180
grader.
7. Bestäm konstanten t så att vektorerna a  i  tj och b  3i  (t  2) j står vinkelrätt
mot varandra.
Svar: Vektorer är vinkelräta då deras punktprodukt är noll.
8. En triangels hörn befinner sig i punkterna A = (1,−2), B = (4,3) och C = (−1,4). Bestäm
vinkeln ACB och triangelns area.
Svar: Vinkeln fås genom att först ange vektorerna CA och CB , och därefter
beräkna vinkeln mellan dem.
CA  1   1  i   2  4  j  2i  6 j
CB   4   1  i   3  4  j  5i  j
Vi behöver även beräkna längden av vektorerna:
CA  22   6   40
2
CB  52   1  26
2
Vi kan nu använda uttrycket för cosinus för vinkeln mellan två vektorer:
CA CB
cos CA, CB 

CA CB



 CA CB 
  cos 1  2  5  6  1 
CA, CB  cos 1 
 CA CB 
 40  26 



CA, CB   60, 255  60,3
Arean ges av uttrycket
1
1
A  CA CB sin CA, CB 
40 26 sin 60, 255  14
2
2


9. Lös ekvationen 2sin 5  3 och ange svaret i radianer.
Svar: