Tentamen Matematik 1 del A 3,7 hp 20090415, LNB 761
0105
Hjälpmedel: Chalmersgodkänd miniräknare
1. Ge en ekvation för
(a) linjen som går genom punkterna (x1 , y1 ) = (4, −6) och (x2 , y2 ) = (5, 2),
(b) cirkeln som har medelpunkt i (x0 , y0 ) = (−1, 6) och punkten (x1 , y1 ) =
(4, −6) ligger på cirkeln.
2. Givet en triangel med sidolängder 8.0 och 11.0 cm, samt vinkeln 40.0◦ , som står
mot den kortare sidan. Solvera triangeln.
6p
5p
3. En triangel med sidolängder 11, 24 och 31 dm är given.
(a) Solvera triangeln.
(b) Bestäm arean. Exakt bestämning för den sista poängen.
5p
4.
8
Två vektorer är givna i figuren.Varje rutas kantlängd är 1
cm.
a
(a) Bestäm längden av vektorerna.
(b) Beräkna
skalärprodukten
mellan vektorerna.
y
6
4
6p
b
2
Θ
(c) Bestäm vinkeln θ mellan -2
vektorerna med exakt metod.
2
x
6
4
-2
5. Lös ekvationerna
(a) 2 sin(x/2) =
√
2 i grader ,
(b) 0 = 1 + 2 cos 2x i radianer .
6p
6. cos v = 35/37 och v ligger i 4:e kvadrant. Bestäm exakt sin v och tan v.
3p
7. En triangel har arean 24 dm2 . Två sidor är 4 dm och 13 dm. Vinkeln mellan
dessa sidor är trubbig. Solvera tríangeln.
6p
1.0
En triangel är inskriven i enhetscirkeln.
0.5
Triangelns längsta sida går genom
origo (0, 0). Bestäm vinkeln θ.
8.
Ledning: Man kan göra sidorna till -1.0 -0.5
ortsvektorer och beräkna en lämplig
-0.5
skalär produkt.
Θ
0.5
1.0
6p
-1.0
9. Givet den regelbundna oktagonen med sidan lika med d.
d
(a) Vilken är vinkeln i ett av dess
hörn?
(b) Uttryck den regelbundna oktagonens area i sidolängden
d.
7p
Lösningsförslag till tentamen Matematik 1 del A 3,7 hp 20090415, LNB 761 0105
1.
(a) Linjen som går genom punkterna (x1 , y1 ) = (4, −6) och (x2 , y2 ) = (5, 2) har riktningskeofficient,
8, så att ekvationen kan skrivas 8(x − x1 ) = y − y1 = 8(x − 4) = y + 6 ⇐⇒ 8x − 38 = y .
y2 − y1
2 − (−6)
=
=
x2 − x1
5−4
(b) p
Cirkeln som har medelpunkt i (x
p0 , y0 ) = (−1, 6) och punkten (x1 , y1 ) = (4, −6) ligger på cirkeln har radien r =
(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2 = (1 − 4)2 + (6 − (−6))2 = 13, så att ekvationen blir (x + 1)2 + (y − 6)2 = 132 .
2. Sätt a = 8.0 och b = 11.0, samt vinkeln A = 40.0◦ . Vinkeln B ges av Sinussatsen:
b
11
sin 40◦ =⇒ B1 ≈ 62.1◦ eller B2 ≈ 117.9◦ .
sin B = · sin A =
a
8
3. Sätt a = 11, b = 24 och c = 31.
(a) Den största vinkeln är C och ges av Cosinussatsen:
a2 + b2 − c2
1
= ... = − ⇐⇒ C = 120◦ .
2ab
2
a sin C
Vinkeln A får vi med Sinussatsen: sin A =
⇐⇒ A ≈ 17.8966◦ och därmed B = 180◦ − 120◦ − A ≈ 42.1◦ .
c
(b) Eftersom vinkeln C = 120◦ exakt så blir arean med areasatsen
√
a · b · sin 120◦
T =
= 66 3 dm2 .
2
cos C =
4.
p
√
√
a| = (−1)2 + 72 = 5 2 och |bb| = 32 + 42 = 5 .
(a) Sätt a = (−1, 7) och b = (3, 4), så blir längderna |a
(b) Skalärprodukten mellan vektorerna är a · b = (−1, 7) · (3, 4) = −3 + 28 = 25.
(c) Vinkeln θ mellan vektorerna ges av
cos θ =
a ·b
25
1
= √
= √ ⇐⇒ θ = 45◦ .
a||bb|
|a
5 2·5
2
5. Lös ekvationerna...
(a)
2 sin(x/2) =
√
√
2 ⇐⇒ sin(x/2) =
◦
◦
x/2 = 45 + 360 · n
eller
x/2 = 135◦ + 360◦ · n
2
1
= √ ⇐⇒
2
2
◦
◦
x = 90 + 720 · n
⇐⇒ eller
x = 270◦ + 720◦ · n
,
n heltal .
(b)
2π
π
1
⇐⇒ 2x = ±
+ 2πn ⇐⇒ x = ± + πn, n heltal .
2
3
3
p
√
√
6. cos v = 35/37 Vi beräknar den motstående katetens längd: 372 − 352 = (37 − 35)(37 + 35) = 2 · 72 = 12 . Därmed är
12
12
sin v = −
och tan v = − .
37
35
7. Sätt arean T=24 dm2 , a = 4 dm samt b = 13 dm. Areasatsen ger
2T
48
12
ab sin C
⇐⇒ sin C =
=
=
.. ⇐⇒ C ≈ 112.6◦ .
T =
2
ab
52
13
5
Därmed är cos C = −
. Den tredje sidan
13
µ
¶
5
= .... = 225
c2 = a2 + b2 − 2ab cos C = 42 + 132 − 2 · 4 · 13 · −
13
så att c = 15 dm. De övriga vinklarna fås med Sinussatsen:
sin C
12
sin A = a ·
=4·
⇐⇒ A ≈ 14.25◦ .
c
13 · 15
Slutligen är B = 180◦ − A − C ≈ 53.1◦ .
0 = 1 + 2 cos 2x ⇐⇒ cos 2x = −
Hx1 , y1L 1.0
Vi inför punkterna som i figuren. Vektorerna a = (x1 −
x2 , y1 − y2 ) och b = (−x1 − x2 , −y1 , −y2 ). Deras skalärprodukt blir
8.
a · b = (x1 − x2 , y1 − y2 ) · (−x1 − x2 , −y1 , −y2 ) =
a
Hx2 , y2 L
0.5
Θ
-1.0
-0.5
−x21 − y12 + x22 + y22 = −1 + 1 = 0
Alltså är vinkeln θ = 90◦ .
9. Givet den regelbundna oktagonen med sidan lika med d.
(a) Vinkelsumman i oktagonen är (8 − 2) · 180◦ = 1080◦ , så att
1080◦
= 135◦ .
i varje hörn är vinkeln
8
(b) Oktagonens area A i sidolängden d . Vi fyra trianglar med
◦
2
vardera arean T = d·d sin2 135 = d√ . De fyra trianglarna
2 2
√
har totalt arean 4T = d2 2 . Den resterande kvadratens area
K har en sidolängd l, som ges av Cosinussatsen:
√
l2 = 2d2 − 2d2 cos 135◦ = 2d2 (1 + 1/ 2) .
Oktagonens area är alltså
³
√
√ ´
√
4T + K = d2 2 + 2d2 (1 + 1/ 2) = 2 + 3 2 d2
-0.5
-1.0
0.5
1.0
b
H-x1 , - y1L
d
l
T
