Lösning på problem 1 ” Nisse Bärs i vildmarken ” Problemet kan ställas upp till följande trigonometriska problem där sträckan X och vinkeln φ° söks. 3 ∠φ ° X 7 60° 5 Det finns flera olika lösningar på detta problem. Här visas tre olika lösningar I), II) och III). Först en matematiskt lite tung lösning, sen en lösning med hjälp av trianglars likformighet och till sist den galantaste lösningen påhittad av Lars Blomberg i Växjö. I) 3 c ∠δ ∠φ ° b ∠α = abd ∠β = dbc ∠δ = dcb ∠β ∠α A X 7 d 60° 5 a För man in en hjälplinje och beteckningar på de olika hörnen erhålls ovanstående figur. Nu går det att gneta sig fram med hjälp av cosinussatsen och sinussatsen samt det kända fenomenet att känner man tre av en godtycklig triangels sidor och/eller vinklar går det alltid att beräkna de återstående. 1. A beräknas mha cosinussatsen A2 = 72 + 52 - 2 x 7 x 5 x cos 60 A2 = √39 2. Vinkeln ∠α (abd) beräknas mha sinussatsen sin(α) / 5 = sin 60 / A sin(α) = 5 / 2√13 3. Eftersom vinkeln abc är 90° blir ∠β = 90° + ∠α 4. X beräknas mha cosinussatsen X2 = 32 + A2 - 2 x 3 x A x cos(β) Där cos(β) = cos(α + 90) Enligt trigonometrins ekvationer är cos(α + 90) = - sin(α) Enligt ovan gäller - sin(α) = - 5 / 2√13 Detta ger X2 = 9 + 39 + 2 x 3 x √39 x 5 / 2√13 X = √ (48 + 15√3) 5. = 8,601 km Vinkeln ∠δ beräknas mha sinussatsen sin(δ) / A = sin(β) / X Ska man här få fram en exakt lösning på detta blir det lite ”grisigt” . Först hjälpsambanden sin(β) = sin(α + 90) = cos(α) = √ (1 – (sin(α))2 ) sin(δ) = ( √39 x √(1 - 25/(4x13) ) / √ 48 + 15√3 = 0,5232 Vilket ger δ = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 ° II) A 3 ∠φ ° E D ∠δ C X B 7 60° 5 Om man utökar figuren åt höger och för in delsträckorna A, B, C, D och E kan följande samband ställas upp: 1) A / 7 = tan 60 ° vilket ger A = 7 x √3 2) A2 + 7 2 = ( 5 + B ) 2 49 x 3 + 49 = 4 x 49 = ( 5 + B ) 2 Vilket ger 2 x 7 = 5 + B dvs B = 9 3) Likformighet ger: C / B = 7 / ( 5 + B ) dvs C = 9 x 7 / ( 5 + 9 ) = 9 / 2 4) Ny likformighet ger : D / C = A / 7 dvs D = (9/2) x 7√3 / 7 = (9/2) x √3 5) E = A – D = 7 x √3 - (9/2) x √3 = (5/2) x √3 6) X2 = ( 3 + E )2 + C2 = ( 3 + (5/2) x √3 )2 + ( 9 /2 )2 = 9 + 15 x √3 + (25/4) x 3 + 81 / 4 vilket ger X = √ (48 + 15 x √3 ) = 8,601 km 7) tanδ = C / ( 3 + E ) = 9/2 / ( 3 + 5/2 x √3 ) = 0,6139 vilket ger δ = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 ° III) 3 ∠φ ° ∠α C X 7 B ∠α A 60° 5 1) A = 5 x cos 60° = 5/2 2) B2 + A2 = 52 vilket ger B = √(25 - 25/4 ) = (5/2) x √3 3) C = 7 - A = 9/2 4) X2 = (B + 3 )2 + C2 vilket ger X = √ [ (25/4) x 3 + 15 x √3 + 9 + 81/4 ] vilket ger X = √ (48 + 15 x √3 ) = 8,601 km 5) Tan(α) = C / ( B + 3 ) = (9/2) / ((5/2) x √3 + 3 ) = 0,6139 vilket ger α = 31,55 ° och φ = 180 - 31,55 = 148,45 °