LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
1. 4 y 2 ( x 5)( x 5) .
2. b.
3. 90.
4. 3 .
5. 5.
6. 2 2 .
7. 7 .
8. x 1 eller
9.
x2 1
.
x( x 2)
10. a 13 .
x 5.
SVAR OCH LÖSNINGAR
ALGEBRA
2006-10-14
11. Linjen y 3x 3
Linjen y 2 x 1
ritas till vänster om x 2.
ritas till höger om x 2.
12. x 2 5x 6 4 x x 2 x 6 0 ( x 3)( x 2) 0
Sätt f ( x) ( x 3)( x 2)
Teckenschema
2
x
x2
-
x 3
-
f (x)
+
Svar:
0
0
3
+
+
-
0
+
-
0
+
x 2 eller x 3.
13. Polynomdivision ger p( x) q( x) g ( x) r ( x) .
Svar: g ( x) 3x 2 5x 13 kvoten
och r ( x) 17 x 15 resten .
Sätt t 2 x och vi får
t 2 7t 8 0 t 1 eller 8 .
1) 2 x 1 Denna ekvation saknar lösning. 2) 2 x 8 x 3.
Svar: x 3.
14. (2 x ) 2 7 2 x 8 0
15. sin u
1
1
8
och cos 2 u 1 sin 2 u 1 ( ) 2 .
3
3
9
8
1
7
cos 2u cos 2 u sin 2 u ( ) 2 .
9 3
9
3
16. sin 3x
6
2
5
n 2
1) 3x
6
6
5
3x
n 2
6 6
2
x n
3
3
Svar:
x
3
n
2
3
Vi får två fall:
2)
3x
6
5
n 2
6
5
n 2
6 6
2
2
x
n
9
3
3x
eller x
2
2
n
9
3
, n Z.
x4
x
x4 x
ln
x
2
x
2
x 2 2 x 8 0 x 4 eller 2 .
En kontroll ger att logaritmerna är definierade för x 4 men inte för x 2.
Svar: x 4 .
17. ln
18.
z 9 iz 2i 2 z (3 i ) z 9 2i
(9 2i)(3 i) 25 15i 5 3i
(3 i)(3 i)
10
2
5 3i
.
Svar: z
2
z
19. 5 x 2 10 x y 2 4 y 11 5 ( x 2 2 x) y 2 4 y 11
Kvadratkomplettering ger
( x 1) 2 ( y 2) 2
1
5 (( x 1) 2 1) ( y 2) 2 4 11
4
20
Svar: En ellips med medelpunkt i punkten (1, 2 ) och
halvaxlarna a 2 och b 20 2 5.
20. x 4 6 x 3 x 2 30 x 0 . Bryt ut x .
x ( x 3 6 x 2 x 30) 0 , vilket ger roten x 0 .
Gissning ger roten x 2 .
Polynomdivision med x 2 ger ekvationen
( x 2)( x 2 8 x 15) 0
x 2 8x 15 0 x 3 , 5.
Svar: Ekvationen har rötterna 2 , 0 , 3 och 5.
SLUT!
