tentamen i matematik - Lunds Tekniska Högskola

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
Helsingborg
ts
s
1.
2.
SVAR OCH LÖSNINGAR
ALGEBRA
2006-01-07
3
.
2
3. 5 3
4. x  1 eller x  7 .
5.  ln 3
6. i
7. x  
5
 n  2
6
1
8. 4 ( x  ) 2  6 = (2 x  1) 2  6
2
1
9. x  .
3
10. 2( x  4)( x  1) .
ln(( x  2)  x)  ln 2 3 
( x  2)  x  2 3 
x 2  2 x  8  0  x  4 eller  2 .
x  2 är en falsk rot, ty x måste vara strängt större än noll.
Svar: x  4 .
11. ln( x  2)  ln x  3 ln 2 
12. Polynomdivision ger p( x)  q( x)  g ( x)  r ( x) .
Svar: g ( x)  x 2  2 x  1  kvoten
13.  10  4 x  4  2 x

och r ( x)  3  resten .
4 x  4  10  2 x ( Kvadrering )  4 x  4  (10  2 x) 2
 4 x  4  100  40 x  4 x 2  x 2  11x  24  0  x  8 eller 3 .
En kontroll i ekv. (1) ger att bara x  3 duger.
Svar: x  3 .
Var god vänd!

1

14. sin  2 x    
Vi får två fall:
3
2



1) 2 x     n  2
3
6
 
2 x     n  2
6 3

x    n 
4

5
 n 
Svar: x    n   eller x 
4
12
15. (2 x ) 2  2  2 x  3
Sätt t  2 x och vi får
t 2  2t  3  0  t  3 eller 1
1) 2 x  3 Denna ekvation saknar lösning.
Svar: x  0.


   ( )  n  2
3
6
7 
2x 
  n  2
6
3
5
x
 n 
12
2) 2 x 
, nZ
2) 2 x  1  x  0.
16. Med z  x  iy och därmed z  x  iy får vi
3( x  iy )  i ( x  iy )  7  5i  3x  i3 y  ix  y  7  5i 
3x  y  i ( x  3 y )  7  5i
Jämförelse av realdel och imaginärdel ger
3x  y  7

 x 2
 

  x  3 y  5
 y  1
Svar:
z  2  i.
17. x 3  6 x 2  5x  12  0 . Gissning ger roten x  1.
Polynomdivision med x  1 ger ekvationen
( x  1)( x 2  7 x  12)  0
x 2  7 x  12  0  x  3 ,  4.
Svar: Ekvationen har rötterna 1,  3 och  4.
18. x 2  2 x  y 2  6 y  3
Kvadratkomplettering ger
( x  1) 2  1  ( y  3) 2  9  3 
Svar: En cirkel med medelpunkt i punkten (1,  3 ) och radie 7 .
Var god vänd!
( x  1) 2  ( y  3) 2  7
1
4
 2 sin x  cos x 

Vi får två fall:
19. sin x  cos x 
1
2
sin 2 x 

1) 2 x 
x
 n  2
6


2) 2 x   
 n 
12
1
2
2x 
x
Svar: x 
20.

12
 n 
eller x 
5
 n 
12

6
 n  2
5
 n  2
6
5
 n 
12
, nZ
1
1
2x 2  x  1
 2x  1  2x  1   0 
0 
x
x
x
1
1
1
1
2( x 2  x  )
2( x  )( x  1)
2( x  )( x  1)
2
2 0 
2
2
Sätt f ( x) 
0
x
x
x
Teckenschema

x
1
2
-
x 1
x
1
2
0
0
1
+
+
-
-
-
2
x
-
-
odef.
+
f (x)
-
+
odef.
-
0
1
Svar: 0  x  1 eller x   .
2
SLUT!
+
0
+
+
0
+