LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK Helsingborg ts s 1. 2. SVAR OCH LÖSNINGAR ALGEBRA 2006-01-07 3 . 2 3. 5 3 4. x 1 eller x 7 . 5. ln 3 6. i 7. x 5 n 2 6 1 8. 4 ( x ) 2 6 = (2 x 1) 2 6 2 1 9. x . 3 10. 2( x 4)( x 1) . ln(( x 2) x) ln 2 3 ( x 2) x 2 3 x 2 2 x 8 0 x 4 eller 2 . x 2 är en falsk rot, ty x måste vara strängt större än noll. Svar: x 4 . 11. ln( x 2) ln x 3 ln 2 12. Polynomdivision ger p( x) q( x) g ( x) r ( x) . Svar: g ( x) x 2 2 x 1 kvoten 13. 10 4 x 4 2 x och r ( x) 3 resten . 4 x 4 10 2 x ( Kvadrering ) 4 x 4 (10 2 x) 2 4 x 4 100 40 x 4 x 2 x 2 11x 24 0 x 8 eller 3 . En kontroll i ekv. (1) ger att bara x 3 duger. Svar: x 3 . Var god vänd! 1 14. sin 2 x Vi får två fall: 3 2 1) 2 x n 2 3 6 2 x n 2 6 3 x n 4 5 n Svar: x n eller x 4 12 15. (2 x ) 2 2 2 x 3 Sätt t 2 x och vi får t 2 2t 3 0 t 3 eller 1 1) 2 x 3 Denna ekvation saknar lösning. Svar: x 0. ( ) n 2 3 6 7 2x n 2 6 3 5 x n 12 2) 2 x , nZ 2) 2 x 1 x 0. 16. Med z x iy och därmed z x iy får vi 3( x iy ) i ( x iy ) 7 5i 3x i3 y ix y 7 5i 3x y i ( x 3 y ) 7 5i Jämförelse av realdel och imaginärdel ger 3x y 7 x 2 x 3 y 5 y 1 Svar: z 2 i. 17. x 3 6 x 2 5x 12 0 . Gissning ger roten x 1. Polynomdivision med x 1 ger ekvationen ( x 1)( x 2 7 x 12) 0 x 2 7 x 12 0 x 3 , 4. Svar: Ekvationen har rötterna 1, 3 och 4. 18. x 2 2 x y 2 6 y 3 Kvadratkomplettering ger ( x 1) 2 1 ( y 3) 2 9 3 Svar: En cirkel med medelpunkt i punkten (1, 3 ) och radie 7 . Var god vänd! ( x 1) 2 ( y 3) 2 7 1 4 2 sin x cos x Vi får två fall: 19. sin x cos x 1 2 sin 2 x 1) 2 x x n 2 6 2) 2 x n 12 1 2 2x x Svar: x 20. 12 n eller x 5 n 12 6 n 2 5 n 2 6 5 n 12 , nZ 1 1 2x 2 x 1 2x 1 2x 1 0 0 x x x 1 1 1 1 2( x 2 x ) 2( x )( x 1) 2( x )( x 1) 2 2 0 2 2 Sätt f ( x) 0 x x x Teckenschema x 1 2 - x 1 x 1 2 0 0 1 + + - - - 2 x - - odef. + f (x) - + odef. - 0 1 Svar: 0 x 1 eller x . 2 SLUT! + 0 + + 0 +