Om planet vet man följande - MAI

Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Kurskod: 764G01
Provkod: KTR1
malgorzata wesolowska
Facit
2017-02-13, kl. 8-12
Om inget annat sägs är koordinater och vektorer givna i standardbasen.
A  1, 1, 1 och B  0,1,3 . Vidare är M
 3 5 1
mittpunkt på AC med koordinater M    , ,  . Bestäm vinkeln ABC .
 2 2 2
1. I triangeln ABC har två hörn koordinater
Svar:


2
vinkeln ABC  arccos 

 5  34 

u har samma riktning som vektorn P1 P2 , där P1  1,0,2 och P2  3,1,4  .


Vidare så är u  5 . Bestäm u .
2. Vektorn
 2 
 5 
Svar: u    1 
3 
 2 
 1  2
 2 4  . Bestäm  så att matrisen  A    I  saknar invers. Kontrollera att


ditt svar verkligen saknar invers. (OBS!  är ett tal och I är enhetsmatris)
3. Låt A 
Svar: Matrisen
4. Låt
 A    I  saknar invers för
  0 eller   5 .
 vara planet x  2 y  az  2  0 där a är en konstant.
a) Ange
a så att  är vinkelrät mot planet 2 x  3 y  z  6  0 .
 x  1  4t

b) Ange a så att linjen  y  1  t
ligger i  .
 z  1  2t

Svar:
a) a  4
b)
a 1
Linköpings universitet
Matematiska institutionen
Kurskod: 764G01
Provkod: KTR1
malgorzata wesolowska
  3
 1 
  
  
5. Låt u   2  och v    1  .
 1 
 2 
 
 
  





Dela upp u så att u  u //  u  där u // är parallell med v och u  är ortogonal mot v .
 1 
 5


1 
1 
Svar: u //     1  och u    3 
2 
2 
 4 
 2 
 x
 1
 
 
6. Antag att F är ortogonalprojektion på linjen  y   t   0 .
z
2
 
 
a) Beräkna F:s avbildningsmatris A, t.ex. genom att bestämma basvektorernas
bilder med hjälp av projektionsformeln. Kontrollera att en vektor
parallell med linjen och att två ej parallella vektorer ortogonala mot linjen
avbildas som avsett.
b) Använd a) till att beräkna avståndet mellan punkten
Svar:
1 0 2
1
0 0 0 
a) A 
5
2 0 4 
b)
avståndet 
3 5
l.e.
5
2, 1, 2 och linjen.