Basvektorer
Basvektorer
ñ
En vektor ū i planet kan
alltid beskrivas av
basvektorerna ā och ñ
ū =rā + sñ om r, s ∈ R
ū =rā + sñ
ū
ā
ē
ō
i basen (ā, ñ)
koordinaterna är entydiga
rā + sñ = tā + uñ ⇔ r=t och s=u
Finns det bättre och sämre
basvektorer?
rā + sñ = tā + uñ ⇔ r=t och s=u
ñ
ē
ā
Bestäm ē:S koordinater i
(2,3)
basen (ā,ñ)
Bestäm ō:S koordinater i
basen (ā,ñ)
(1.5,-3)
Bestäm ē:S koordinater i
basen (-3ñ,2ā)
(-1,1)
Bestäm ē:S koordinater i
basen (ā+ñ,ā-ñ)
ā+ñ
ā-ñ
Uppgifter
245
258
259
260
261
263
ū
ā
ā och ñ kallas basvektorer
Vektorparet (ā, ñ) kallas bas
(r, s) är koordinaterna för vektor ū
rā och sñ är vektor ū:s komponenter
Som basvektorer duger
ā och ñ omm
ā || ñ och |ā|,|ñ|≠0
Exempel
ñ
ō
ē
ē
ñ
ē
Exempel
ā
ē:S koordinater i basen
(ā,ñ) är (2,3)
ē=2ā+3ñ
Bestäm ē:S koordinater i
basen (ā+ñ,ā-ñ)
ē=r(ā+ñ)+s(ā-ñ)
ē=rā+rñ+sā-sñ
ē=(r+s)ā+(r-s)ñ
ā+ñ
ē
(2.5,-0.5)
ē
ā-ñ
278
267
268
269
(270)
274
275
278
279
Är AB och AC
parallella?
A
8ā
O
2b
B
12ā-b
279
C
1
D
283
Är AQ och PC
parallella?
(1)
C
Q
1
(2)
A
Enhetsvektorn
B
P
Vi vill ha
|ā0|=1
ā
ā0
284
Exempel
Har:
|ū|=6, |ō|=12, |ē|=9
ū ↑↑ ō , ō ↑↓ ē
ū0 =
ō0=
ē0=
ō, ē uttryckta med ū
Skalär produkt är
produkten av två vektorer
ā
ā0
ā0=
Fy
F
α
ā
|ā|
ā
|ā|
ā0=
1 ⋅ā
|ā|
W=F⋅s
Exempel
1
ā0=
W=F⋅s
Fx=F cos α
W=F⋅s cos α
Fx
F
1 ⋅ā
ā0=
|ā|
s
ā ⋅ ñ = |ā|⋅⋅ |ñ|cos α
Skalär produkt
Skalära produkten av två
vektorer är
ā⋅⋅ñ = |ā|⋅⋅|ñ|cos α
Produkten av vektorernas
längd och cosinus för vinkeln
mellan dem
Exempel
ā
α
ñ
Kvadraten ABCD har
sidan 5.
Beräkna
a) AB⋅AC
b) AB⋅AD
c) AD⋅AD
d) CD⋅AC
D
5
C
5
A
B
2
Uppgifter
245
279
284
286
Teori
287
ā ⋅ ā = |ā
ā⋅ē=ē⋅ā
ū⋅⋅(ā+ē)= ū⋅⋅ā + ū⋅⋅ē
(sā)⋅(rē)= (sr) ā⋅ē
288
289
293
D
283
|2
Är AQ och PC
parallella?
(1)
C
Q
(2)
A
B
P
284
295
Enhetsvektorn
Exempel
1
Vi vill ha
|ā0|=1
ā
ā0
ā0=
ā
|ā|
ā0=
1 ⋅ā
|ā|
Uppgifter
Har:
|ū|=6, |ō|=12, |ē|=9
ū ↑↑ ō , ō ↑↓ ē
ū0 =
ō0=
ē0=
ō, ē uttryckta med ū
1
ā
ā0
ā0=
ā
|ā|
ā0=
1 ⋅ā
|ā|
Enhetsvektorn
1
245
279
284
286
Teori
287
ā ⋅ ā = |ā|2
ā⋅ē=ē⋅ā
ū⋅⋅(ā+ē)= ū⋅⋅ā + ū⋅⋅ē
(sā)⋅(rē)= (sr) ā⋅ē
288
289
293
Vi vill ha
|ā0|=1
ā
ā0
ā0=
ā
|ā|
ā0=
1 ⋅ā
|ā|
295
3
ū =rā + sñ
Exempel
3. Vektorer i xy-koordinatsystem
1
Har:
|ū|=6, |ō|=12, |ē|=9
ū ↑↑ ō , ō ↑↓ ē
ū0 =
ō0=
ē0=
ō, ē uttryckta med ū
ā
ā0
Alla vektorer kan
beskrivas med hjälp av
dessa.
ā0=
ā
|ā|
ā0=
1 ⋅ā
|ā|
y
O
OQ =2,5i - 3j
x
i
j
R(-1.5,0)
O
i
x
OR =-1,5i + 0j
Q(2.5,-3)
Uppgifter
y
P(2,3)
22 + 32
j
R(-1.5,0)
O
i
314
308
309
1
+(-
P(2,3)
OP =2i + 3j
Längden av en vektor
|OQ|=
1
y
P
1
3)2
i
1
Vektorn från origo till en
punkt kallas ortsvektor
2,52
O
Ortonormerat koordinatsystem
j
|OP| =
j
OP =xi + yj
Ortonormerat koordinatsystem
Ett koordinatsystem med
vinkelräta enhetsvektorer
som basvektorer
P
Vi inför de vinkelräta
basvektorerna i och j
x
316
318
322
|OR| = 1,52
Q(2.5,-3)
328
330
4
Uppgifter
Sid 97
328
330
332
333
334 (förhör)
338
Sid 98
338
340
341
343
345
5
