Lektion 25: Vektorer
Upp 0. Du och jag promenerar med konstanta hastigheter 5 km/h. Ursprungligen är avståndet oss emellan 10 km. När
kommer vi att träffa varandra?
Upp 1. En flod är 200 m bredd. Strömmens hastighet är 3 km/h. Punkter A och B står exakt mittemot varandra på olika sidor
av floden. Båten startar från A och kör med hastigheten 5 km/h.
a) För att korsa floden på så kort tid som möjligt kör båten rakt fram mot den andra sidan och når den i en punkt C. Bestäm
avståndet mellan B och C.
b) Båten måste korsa floden längs linjen AB. Hur lång tid tar det?
Definitioner. Vektor AB (betecknas också AB) är en riktad sträcka där A kallas begynneslepunkten och B ändpunkten.
Absolutbeloppet |AB| är vektorns och sträckans längd. En vektor av längden 0 kallas nollvektorn och betecknas 0 . Vektor
BA kallas den motsatta vektorn till AB och betecknas som – AB .
Vektorer AB och CD är lika om de har samma längd, är parallella och har samma riktning (d v s ligger på samma sida om
linjen AC). Således en riktad sträcka är bara en representant av en vektor. Från vilken som helst punkt M kan man avlägga
vilken som helst vektor a MN .
Exempel. Storlekar i naturvetenskap och teknik kan ofta
presenteras som vektorer: krafter, hastigheter,
accelerationer o.s.v.
Upp 2. ABCD är en parallellogram, diagonalerna AC och
BD skär varandra i punkten O. Bestäm bland vektorer
med begynnesle- och ändpunkter i A,B,C,D,O minst 5
par lika vektorer med olika begynneslepunkter.
Upp 3. a) Markera på koordinatplanet punkterna A(1, 2),
B(1, 6), C(4, 6), rita vektorerna AB, BC, CA och avlägga de från origo.
b) Vilken av dessa vektorer är den längsta?
Definitioner. (Räknesätt med vektorer)
Addition AB BC AC
Subtraktion. AC AB BC
Multiplikation med ett tal: Låt k vara ett tal. Vektorn k AB är parallel med AB , har längden |k||AB| och antingen har
samma riktning som AB (om k>0) eller den motsatta riktningen (för k<0).
Upp 4. ABCD är en parallellogram, diagonalerna AC och BD skär varandra i punkten O. Bestäm
a) CA+AD b) DO–DA c) 2OB d) 0,5 AC e) OA+OC f) OD+DA+AC+CB g) OA+OB h) AB–AD
i) 0,5AC+BA
Poänguppgifter (Lamnas in senast om två veckor).
25-1. M är mittpunkten på sträckan AB, O – en godtycklig punkt. Visa att OM=0,5(OA+OB).
25-2. Låt OA OB OC 0 och |OA|=|OB|=|OC|. Visa att ABC är en liksidig triangel
Den 9 maj 2008, Metapontum, åk1 http://sasja.shap.homedns.org/Metapontum/2007/vt1/
