Version A

Version A
Efternamn:_______________________________
Namn:
______________________________
Kontrollskrivning 1 i Matematik I
Kurskod: 6H2901
KTH Syd, campus Haninge
Datum: 2004-03-27, tid: 08:15-10:00
Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
För godkänt betyg på KS krävs 5 p av 9 möjliga. Godkänt på denna KS innebär att Du har 3 p
på tentamen givna och att du inte skall lösa uppgift 1 på tentamen.
Detta blad får ej behållas utan lämnas in!
Uppgift 1. (3p)
a) ( 1p) Lös ekvationen | 2 x  3 | 1
2
 2
b) ( 1p) Lös olikheten
x2
c) ( 1p) Skissera i xy-planet mängden av alla punkter (x, y) som satisfierar olikheten
x 2  4x  y 2  0
Uppgift 2. (2p)
Beräkna arean av triangeln ABC då
A=(1,1,1), B= (1,2,3), C= (2,2,1)
Uppgift 3.


a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F =(2,1,0) på vektorn a = (1,1,1) ( det vill säga

på en linje som är parallell med vektorn a )




b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u och v så att u blir parallell med a och
  
F  u  v ( se bilden nedan) .

F

v

u
Uppgift 4. (2p)
Låt P vara skärningspunkten mellan planet x  y  z  4 och linjen
x  t 1
yt
zt
Bestäm avståndet från punkten P till punkten Q=(3,3,3).
FACIT:
Uppgift 1. (3p)
a) ( 1p) Lös ekvationen | 2 x  3 | 1
2
 2
b) ( 1p) Lös olikheten
x2
c) ( 1p) Skissera i xy-planet mängden av alla punkter (x, y) som satisfierar olikheten
x 2  4x  y 2  0
a)
3 1
| 2 x  3 | 1  2 x  3  1  2 x  3  1  x 
2
x1  2,
x2  1
b)
2
2
2x  2
 2 
20
0
x2
x2
x2
1
0

0


+
2x -2
x2
2x  2
x2
2
+ +
 0
 ej
def
+
+
+
Svar: Två intervall; de reella tal x som satisfierar x  1 eller x  2
c) x 2  4 x  y 2  0  ( x  2) 2  4  y 2  0  ( x  2) 2  y 2  4
Svar: De (inre) punkter som ligger i cirkelskiva med radien r=2 och centrum i C(2,0)
satisfierar olikheten.
Uppgift 2. (2p)
Beräkna arean av triangeln ABC då
A=(1,1,1), B= (1,2,3), C= (2,2,1)

AB  (0,1,2) ,




AC  (1,1,0)
  
i j k
n  AB AC  0 1
1 1
Triangelns area=

 
2  2i  2 j  k  (  2, 2,1 )
0
1  1
1
3
n 
4  4 1 
9  a e.
2
2
2
2
Uppgift 3.


a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F =(2,1,0) på vektorn a = (1,1,1) ( det vill säga

på en linje som är parallell med vektorn a )




b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u och v så att u blir parallell med a och
  
F  u  v ( se bilden nedan) .

F

u


a) Vektorprojektion av F på a är

  F  a   3

u  proj a ( F )     a  (1,1,1)  (1,1,1)
3
 aa 
  
b) v  F  u  (1, 0,  1)
Uppgift 4. (2p)
Låt P vara skärningspunkten mellan planet x  y  z  4 och linjen
x  t 1
yt
zt
Bestäm avståndet från punkten P till punkten Q=(3,3,3).
Lösning:
Vi substituerar linjens ekvationer i planets ekvation ock får:
t  1  t  t  4  3t  3  t  1,
och därför gäller
x  t 1  2
y  t 1
z  t 1
Skärningspunkten alltså är P=(2,1,1).
För avståndet från punkten P till punkten Q=(3,3,3) gäller
d(P,Q)= 12  2 2  2 2  3

v
Svar: Avståndet från punkten P till punkten Q är 3 le.