KS1 B

Version B
Efternamn:_______________________________
Namn:
_______________________________
Kontrollskrivning 1 i Matematik I
Kurskod: 6H2901
KTH Syd, campus Haninge
Datum: 2004-03-27, tid: 08:15-10:00
Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
För godkänt betyg på KS krävs 5 p av 9 möjliga. Godkänt på denna KS innebär att Du har 3 p
på tentamen givna och att du inte skall lösa uppgift 1 på tentamen.
Detta blad får ej behållas utan lämnas in!
Uppgift 1. (3p)
a) ( 1p) Lös ekvationen | 3 x  2 | 10
3
 3
b) ( 1p) Lös olikheten
x2
c) ( 1p) Skissera i xy-planet mängden av alla punkter (x, y) som satisfierar olikheten
x2  y2  6y  0
Uppgift 2. (2p)
Beräkna arean av triangeln ABC då
A=(1,1,0), B= (1,2,2), C= (2,2,0)
Uppgift 3. (2p)


a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F =(1,2,3) på vektorn a = (1,1,1) ( det vill säga

på en linje som är parallell med vektorn a )




b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u och v så att u blir parallell med a och
  
F  u  v ( se bilden nedan)
.

F

v

u
Uppgift 4. (2p)
Låt P vara skärningspunkten mellan planet x  y  z  6 och linjen
x  t 1
y t2
z t
Bestäm avståndet från punkten P till punkten Q=(2,2,2).
FACIT:
Uppgift 1. (3p)
a) ( 1p) Lös ekvationen | 3 x  2 | 10
3
 3
b) ( 1p) Lös olikheten
x2
c) ( 1p) Skissera i xy-planet mängden av alla punkter (x, y) som satisfierar olikheten
x2  y2  6y  0
a)
| 3 x  2 | 10  3 x  2  10  3x  2  10  x 
x1  4,
b)
x2 
2  10
3
8
3
3
3
3x  3
 3 
3 0
0
x2
x2
x2
3x -3
x2
3x  3
x2
1
0

0


+
2
+ +
 0
 ej
def
+
+
+
Svar: Två intervall; de reella tal x som satisfierar x  1 eller x  2
c) x 2  y 2  6 y  0  x 2  ( y  3) 2  9  0  x 2  ( y  3) 2  9
Svar: De (yttre) punkter som ligger utanför cirkelskivan med radien r=3 och centrum i
C(0,3) satisfierar olikheten.
Uppgift 2. (2p)
Beräkna arean av triangeln ABC då
A=(1,1,0), B= (1,2,2), C= (2,2,0)

AB  (0,1,2) ,

AC  (1,1,0)




i
 
j k
n  AB AC  0 1
1 1
Triangelns area=

 
2  2i  2 j  k  (  2, 2,1 )
0
1  1
1
3
n 
4  4 1 
9  a e.
2
2
2
2
Uppgift 3. (2p)


a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F =(1,2,3) på vektorn a = (1,1,1) ( det vill säga

på en linje som är parallell med vektorn a )




b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u och v så att u blir parallell med a och
  
F  u  v ( se bilden nedan)
.

F

v

u

a) Vektorprojektion av F på

  F  a   6

u  proj a ( F )     a  (1,1,1)  (2,2,2)
3
 aa 
  
b) v  F  u  (1, 0, 1)

a är
Uppgift 4. (2p)
Låt P vara skärningspunkten mellan planet x  y  z  6 och linjen
x  t 1
y t2
z t
Bestäm avståndet från punkten P till punkten Q=(2,2,2).
Lösning:
Vi substituerar linjens ekvationer i planets ekvation ock får:
t  1  t  2  t  6  3t  3  t  1 ,
och därför gäller
x  t 1  2
y t23
z  t 1
Skärningspunkten alltså är P=(2,3,1).
För avståndet från punkten P till punkten Q=(2,2,2) gäller
d(P,Q)= 0 2  (1) 2  12  2
Svar: Avståndet från punkten P till punkten Q är
2 le.