Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer och krafter
VEKTORER OCH KRAFTER
Enhetsvektorer. En enhetsvektor är en vektor med längden 1. ( En enhetsvektor kallas
ibland för normerad vektor) Vi behöver ofta bestämma den enhetsvektor som har samma
r r
riktning med en given vektor v ≠ 0 .
r
r
r
En sådan enhetsvektor e får vi genom att dela v med dess längd | v | ,
r 1 r
e= r v
|v |
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------r
r
Den vektor w som har längden | w |= L
r r
och samma riktning som en given vektor v ≠ 0
bestämmer vi genom
r
r
1 r
w = Le = L ⋅ r v
|v |
ÖVNINGAR
r
Uppgift 1. Bestäm den enhetsvektor som har samma riktning som vektorn v = ( 2,3,−3) .
r 1 r
1
1
( 2,3,−3) =
( 2,3,−3) .
Lösning: e = r v =
|v |
4+9+9
22
1
( 2,3,−3)
Svar:
22
r
Uppgift 2. Bestäm den vektor w som har längden 5 och samma riktning som vektorn
r
v = ( −1,3,−2) .
1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer och krafter
Lösning: Först bestämmer vi den enhetsvektor som har samma riktning som vektorn
r
v = ( −1,3,−2) :
r 1 r
1
1
e= r v=
( −1,3,−2) =
( −1,3,−2) .
|v |
1+ 9 + 4
14
Nu är den sökta vektorn
r
r
1 r
5
w = 5e = 5 r v =
( −1,3,−2) .
|v |
14
5
( −1,3,−2)
Svar:
14
r
Uppgift 3. Bestäm kraften F vars storlek är 10 (newton) som har samma riktning som
r
vektorn v = ( −4,3,−2) .
r
1 r 10
( −4,3,−2) .
Lösning: F = 10 r v =
|v |
29
10
Svar:
( −4,3,−2)
29
r
Uppgift 4. Bestäm kraften F som verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten
B (1,3,5) om kraftens storlek är 8 (newton).
r
r →
Lösning: F har samma riktning som vektorn v = AB = (0,2,4)
r
1 r
8
8
F =8 r v =
(0,2,4) =
(0,1,2)
|v |
20
5
Svar:
8
(0,1,2)
5
→
Uppgift 5. En kraft F 1 av 18 newton verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten
→
B (3,3,2). Kraften F 2 av 9 newton verkar i riktningen från punkten A(1,1,1) till punkten
C(2,-1,3).
Bestäm
→
→
→
→
a) resultanten G = F 1 + F 2 och b) storleken | G | .
→
r →
Lösning: F 1 har samma riktning som vektorn v = AB = ( 2,2,1)
r
1 r 18
Därför F1 = 18 r v = ( 2,2,1) = 6 ⋅ ( 2,2,1) = (12,12,6)
|v |
3
→
→
→
F 2 har samma riktning som vektorn w = AC = (1,−2,2)
2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
→
Därför F 2 = 9
→
→
Vektorer och krafter
→
9
w = (1,−2,2) = 3 ⋅ (1,−2,2) = (3,−6,6)
3
|w|
1
→
→
Härav G = F 1 + F 2 = (12,12,6) + (3,−6,6) = (15,6,12)
→
och därför | G |= 3(5,2,4) = 3 45 = 9 5
→
→
Svar: a) G = (15,6,12)
b) | G |= 9 5
→
→
→
Uppgift 6. Krafterna F 1 , F 2 och F 3 i nedanstående figur befinner sig i jämviktsläge dvs
→
→
→
→
→
→
F 1 + F 2 + F 3 = 0 . Kraften F 3 som är parallell med y-axeln har storleken | F 3 |= 10 newton
→
(alltså F 3 = (0,−10) ).
C(7,13)
B(-5,9)
F2
F1
A(1,1)
F3
→
→
→
→
Bestäm krafterna F 1 och F 2 . Bestäm också krafternas storlekar | F 1 | och | F 2 | ,.
→
r →
Lösning: F 1 har samma riktning som vektorn v = AB = (−6,8)
→
r
Därför F1 = x ⋅ AB = x ⋅ ( −6,8) för något tal x .
→
→
→
F 2 har samma riktning som vektorn w = AC = (6,12) och därför
→
→
F 2 = y ⋅ AC = y ⋅ (6,12) för något tal y .
Kvarstår att bestämma x och y.
För att bestämma x och y använder vi relationen (jämviktsläget)
→
→
→
→
F 1 + F 2 + F 3 = 0 dvs
x ⋅ ( −6,8) + y ⋅ (6,12) + (0,−10) = (0,0) .
3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer och krafter
Detta ger två skalära ekvationer
− 6 x + 6 y + 0 = 0 (ekv1)
8 x + 12 y − 10 = 0 (ekv2)
Från (ekv1) får vi y = x som vi substituerar i (ekv2) och får 8 x + 12 x − 10 = 0 .
Härav x = 1 / 2 och därefter y = 1 / 2 .
→
r
r
1
Nu har vi F1 = x ⋅ AB = x ⋅ ( −6,8) = ( −6,8) = ( −3,4) och därmed | F1 |= 5 .
2
→
→
r
1
På samma sätt F 2 = y ⋅ AC = ⋅ (6,12) = (3,6) och därmed | F2 |= 3 5 .
2
→
r
r
r
Svar: F1 = ( −3,4) , | F1 |= 5 , F 2 = (3,6) och | F2 |= 3 5 .
→
→
→
→
Uppgift7. Krafterna F 1 , F 2 , F 3 och F 4 i nedanstående figur befinner sig i jämviktsläge
→
→
→
→
→
→
→
dvs F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 0 . Kraften F 4 som är parallell med z-axeln har storleken | F 4 |= 10
→
newton (alltså F 4 = (0,0,−10) ).
→
→
→
Bestäm krafterna F 1 , F 2 och F 3 . Bestäm också krafternas storlekar.
→
→
→
→
→
r
Tips: F1 = x ⋅ AB , F 2 = y ⋅ AC , F 3 = z ⋅ AD
Lösning:
→
r
F1 = x ⋅ AB = x(3,−6,9) ,
→
→
→
→
F 2 = y ⋅ AC = y (6,−3,3) ,
F 3 = z ⋅ AD = z ( −6,6,12)
→
→
→
→
→
substitueras i F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = 0 .
Detta ger tre skalära ekvationer
3x + 6 y − 6 z = 0 (ekv1)
4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer och krafter
− 6 x − 3 y + 6 z = 0 (ekv2)
9 x + 3 y + 12 z − 10 = 0 (ekv3) .
Härav x = 1 / 3 , y = 1 / 3 , z = 1 / 2 och därmed
r
F1 = x (3,−6,9) = (1,−2,3) ,
→
F 2 = y (6,−3,3) = ( 2,−1,1) ,
→
F 3 = z ( −6,6,12) = ( −3,3,6) .
r
r
r
Detta gör storlekar | F1 |= 14 , | F2 |= 6 , | F3 |= 3 6 .
→
→
r
Svar: F1 = x (3,−6,9) = (1,−2,3) , F 2 = y (6,−3,3) = ( 2,−1,1) , F 3 = z ( −6,6,12) = ( −3,3,6) ,
r
r
r
| F1 |= 14 , | F2 |= 6 , | F3 |= 3 6 .
5 av 5
