1
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer
VEKTORER I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT SYSTEM
SKALÄRPRODUKT, VEKTORPRODUKT SKALÄR TRIPPELPRODUKT
Låt A = ( a1 , a 2 , a3 ) och B = (b1 , b2 , b3 ) vara två punkter i rummet. Då gäller
→
AB = (b1 − a1 , b2 − a 2 , b3 − a3 )
r
r
Låt u = ( x1 , y1 , z1 ) och v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) vara två vektorer och θ vinkeln mellan dem.
Längden (beloppet) av en vektor:
r
u = x12 + y12 + z12
Skalärprodukt:
r r
r r
u o v = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = u ⋅ v ⋅ cosθ
För vinkeln θ gäller:
r r
r r
u ⊥ v ⇔ uov = 0
r r
r
r
u || v ⇔ u = kv
B
r
v
θ
O
r r
uov
cosθ = r r
u ⋅ v
r
u
A
============================================================
Vektorprodukt (kryssprodukt):
r
i
r r
u × v = x1
r
j
y1
r
k
z1
x2
y2
z2
Vektorprodukten är en vektor som
r
r
är vinkelrät mot u och v och riktad
enligt skruvregeln.
Dess absolutbelopp är:
r r
r r
u × v = u ⋅ v sin θ
r r
u ×v
B
r
v
θ
O
r
u
A
r
r
Den parallellogram som bestäms (spänns upp) av vektorerna u och v har arean
r r
A= u×v
============================================================
2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer
============================================================
r
r
r
Låt u = ( x1 , y1 , z1 ) och v = ( x 2 , y 2 , z 2 ) w = ( x 3 , y 3 , z 3 ) vara tre vektorer.
x1
r
r
r
Skalär trippelprodukt definieras som talet: (u × v ) o w = x 2
y1
z1
y2
z2
x3
y3
z3
C
r
w
r
v
B
r
u
O
A
r r
r
Den parallellepiped som bestäms (spänns upp) av u , v och w har volymen
x1
y1
z1
r r r
V =| (u × v ) o w |=| x 2
y2
z2 |
x3
y3
z3
============================================================
C
r
w
Den pyramid som bestäms
r r
r
(spänns upp) av u , v och w har
r
v
1 r r r
volymen V = | (u × v ) o w |
6
B
r
O
u
A
============================================================
Vektorprojektioner:
r
⎛
proj ar ( F ) = ⎜⎜
⎝
r
F
r r
F oa ⎞r
r r ⎟a
a o a ⎟⎠
r
a
r
r
u = projar (F )
r
r
r
r
Vektorn u = projar (F ) är den ortogonala projektionen av F på a .
3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
r r
r
r
|F oa |
Längden av u ges av | proj ar ( F ) |=
.
r
|a |
============================================================
Uppgift 1. Beräkna arean av triangeln ABC då
A= ( 1,2,2), B=(1,3,4) och C=( 1,3,6).
Lösning:
→
AB = (0,1,2),
→
AC = (0,1,4)
r r r
i j k
→
→
r
AB× AC = 0 1 2 = 2i = ( 2,0,0)
0 1 4
→
→
| AB× AC | =2
Arean(ABC)=
→
1 →
| AB× AC |= 1
2
Svar: 1 a e.
Uppgift 2. Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av
r
r
r
vektorerna a = ( 1,2,3), b =(2,3,0) och c =( 1,4,0) .
Lösning:
1 2 3
2 3
Volmen = 2 3 0 = 3
= 15
1 4
1 4 0
Svar: 15 v e.
r r
r
Uppgift 3. För vilka värden på k är vektorerna a och kb + c vinkelräta
r
r
r
då a = (1,2,1), b =(1,2,3) och c =(1,0,1) ?
Lösning:
r r
r
a o ( kb + c ) = 0 ⇒ ( 1, 2 ,1 ) o (k + 1, 2k , 3k + 1) = 0
⇒ k + 1 + 4k + 3k + 1 = 0 ⇒ 8k = −2 ⇒ k = −1 / 4
Svar: k = −1 / 4
Uppgift 4. För vilka värden på s och t är vektorerna
r
r
a = (t , 3,−5) och b = ( 2, s,−1) parallella?
Lösning:
Vektorer
4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Vektorer
r
r
a = kb ⇒ (t ,3,−5) = k ( 2, s,−1) ⇒
t = 2k , 3 = ks, − 5 = − k ⇒
k = 5, t = 10, s = 3 / 5
Svar: t = 10, s = 3 / 5
Uppgift 5. Ett koordinatsystem Oxyz är definierat i ett rum ( rät block) med dimensioner
8m×6m× 3m. enligt bilden nedan. Dessutom gäller CG=2m , AF=6m , DE=2m.
Beräkna volymen av pyramiden OGEF
Volymen av parallellepipeden som spänns upp av vektorerna
→
OG = (0,2,3) ,
0 2
V1= | 6 6
6 8
→
→
OF = (6,6,0) och OE = (6,8,2) är
3
0 | =12.
2
1
⋅ 12 =2.
6
Svar: Volymen av pyramiden OGEF 2 m3 .
Volymen av pyramiden OGEF är
Uppgift 6.
r
r
a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F =(1,2,3) på vektorn a = (1,1,1) ( det vill säga
r
på en linje som är parallell med vektorn a )
r
r
r
r
b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u och v så att u blir parallell med a och
r r r
F = u + v ( se bilden nedan) .
r
F
r
a
r
v
r
u
5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Lösning:
r
r
a) Vektorprojektion av F på a är
r
r ⎛ F o ar ⎞ r 6
r
u = proj ar ( F ) = ⎜⎜ r r ⎟⎟a = (1,1,1) = (2,2,2)
3
⎝ aoa ⎠
r r r
b) v = F − u = (−1, 0, 1)
Vektorer
