Matematik Breddning/Linjär algebra II, 110427
Maxpoäng: 27 varav 11 vg-poäng. Skrivtid: 120 minuter
Inga hjälpmedel
Lösningarna ska vara välskrivna och välmotiverade.
Alla (underförstådda) koordinatsystem och baser är ortonormerade.
3 1
1 − 4
och B =
Låt A =
1 2
4 2
a) Bestäm BT. (Endast svar)
b) Bestäm A-1.
c) Lös matrisekvationen AX = BA
(1/0)
(2/0)
(2/0)
2.
Ange en 2*2-matris som är ortogonal. Motivera ditt val kortfattat.
(2/0)
3.
För en linjär avbildning F : ℜ 3 a ℜ 3 gäller att F (u ) = (1, 2, 3) , F (v ) = (0, − 1, 2)
Bestäm F (2u + 5v ) .
1 0 2
(2/0)
1.
4.
Beräkna determinanten 2 1
0 genom att
1 1 −1
a) använda Sarrus regel.
b) utveckla efter tredje raden.
c) Är vektorerna u1 = (1, 2, 1) , u2 = (0, 1, 1) och u3 = (2, 0, − 1) linjärt beroende?
Motivera kortfattat!
d) Är vektorerna u1 = (1, 2, 1) , u2 = (0, 1, 1) och u3 = (2, 0, − 1) (i den ordningen)
positivt orienterade? Motivera kortfattat!
5.
6.
7.
2 2 − 1
1
Speglingen i planet π : x − 2 y + z = 0 ges av matrisen A= 2 − 1 2 .
3
−1 2 2
a) Ange en vektor v som avbildas på sig själv under speglingen. Verifiera ditt
påstående genom att beräkna Av.
b) Bestäm avbildningsmatrisen för spegling i planet π : x − 2 y + z = 0 följt av
spegling i yz-planet.
Bestäm den vridningsmatris (vridning kring origo) som överför vektorn (3,4) på
vektorn (5,0). Svaret får inte innehålla några trigonometriska uttryck.
a) Definiera begreppen egenvärde och egenvektor.
8 − 10
, dvs bestäm en matris S och en
b) Diagonalisera matrisen
5 − 7
diagonalmatris D så att S-1AS= D.
(LTH-tentamen 081215, del av uppgift 2)
(2/0)
(1/1)
(0/1)
(0/1)
(0/2)
(1/1)
(1/2)
(1/1)
(1/2)
Extra uppgifter
2 2
1
1 1 0
1
Givna är matriserna A = 2 − 2 1 och B = 0 1 2
3
1 0 3
− 2 − 1 2
a) Avgör om A är en ortogonal matris.
b) Bestäm inversen till A
c) Lös matrisekvationen X −1 B = A
En linjär avbildning F : ℜ 3 a ℜ 3 överför de tre vektorerna
v1 = (1, 0, 0) , v 2 = (1, 1, 0) och v3 = (0, 1, 1)
på vektorerna
u1 = (0, 0, 1) , u 2 = (−1, 0, 1) och u 3 = (0, 1, 0)
a) Ange matrisen för avbildningen F
b) Beräkna F (2v1 + 3v 2 )
En linjär avbildning i planet ges av spegling i linjen 2 x1 + 3x 2 = 0 .
Beräkna avbildningens matris.
2 4
. Beräkna AT
Givet matrisen A =
1 3
Lös matrisekvationen
1
1 1
B = 0
A =
1 2
0
A X B = C då
2 3
1 2 1
1 2 C =
2 1 2
2 1
Ange avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som består i att man först roterar
rummets vektorer vinkeln
π
runt y-axeln (moturs i y-axelns positiva riktning) och därefter
4
speglar rummets vektorer i linjen ( x, y, z ) = t (1, 1, 0)
