5.6 Introduktion till differentialekvationer
Räkna med Vux D
Test 1
Vid ett bioteknikföretag undersöktes en ny medicins effekt på en typ av bakterier i ett
prov. Man fann att minskningen av antalet bakterier per tidsenhet N ´(t) var proportionell
mot antalet bakterier N(t) i varje ögonblick. Proportionalitetskonstanten var k = – 0,04 då
tiden t mäts i timmar. Detta samband kan formuleras som differentialekvationen
N ´(t) = – 0,04N(t). Lös uppgifterna 1−3.
1
Visa att en lösning till differentialekvationen är N (t ) = N 0 ⋅ e −0, 04t , där N0 är antalet
bakterier vid experimentets start.
2
Bestäm halveringstiden T, dvs. den tid det tar tills antalet bakterier i provet har minskat till
hälften.
3
Hur lång tid efter experimentets start återstår 0,1 ‰ av bakterierna?
4
Vilken eller vilka av funktionerna A−F är lösning till differentialekvationen
y´´ + 0,2y´ = 0 ?
A y = e −0, 2 x
B y = 5e −0, 2 x + 5
C y = sin 0,2 x
D y = 2⋅ 3
E y = 5e 0, 2 x
F y = C ⋅ e −0 , 2 x + D
Differentialekvationen y´ – 5y – x – 4 = 0, som har den allmänna lösningen
y = Ce 5 x − 0,2 x − 0,84 , ska undersökas i uppgifterna 5 och 6.
5
Visa att y = Ce 5 x − 0,2 x − 0,84 är en lösning till differentialekvationen.
6
Bestäm den speciella lösning för vilken y(0) = 2
Räkna med Vux D © Författarna och Gleerups Utbildning AB
www.gleerups.se/entree
