Sammanfattning 3
Alla matriser kan inte diagonaliseras
ẋ1 = x1 + 2x2 ,
Ex 1:
→ x2 (t) = c2 et och ẋ1 − x1 = 2c2 et . Integrerande faktorn e−t :
ẋ2 = x2
e−t ẋ1 − e−t x1 =
A=
1 2
0 1
d −t
(e x1 ) = 2c2
dt
−→
x1 (t) = (c1 + 2c2 t)et .
har endast ett egenvärde, λ = 1 och egenvektorer x = s
A n×n
Sats 3.9:
alla egenvärden olika
1
0
,
s 6= 0.
⇒ A är diagonaliserbar.
Bevis (för n = 3): Vi skall visa att A har tre linjärt oberoende egenvektorer. Till varje
egenvärde kan man välja en egenvektor, så låt oss bilda Q = a1 S1 + a2 S2 + a3 S3 , en linjär
kombination av dessa som är lika med (vektorn) noll. Vi skall visa att detta inträffar bara
om koefficienterna a1 , a2 , a3 är alla noll. Q = 0 ⇒ (λ1 I − A)(λ2 I − A)Q = 0 , dvs:
a3 (λ1 − λ3 )(λ2 − λ3 )S3 = 0 . Detta kräver a3 = 0. På motsvarande sätt bevisas att även
a1 , a2 är noll. Obs!
Olika egenvärden ⇒ diagonaliserbar
Multipla (upprepade) egenvärden: inget kan fastställas utan vidare arbete.
1 2
1 0
kan diagonaliseras; andra som t ex A =
Vissa matriser som t ex I =
0 1
0 1
kan inte diagonaliseras, men de har samma egenvärde och samma karakteristiska polynom.
2 1
−1 2
x. det(λI −A) = (λ−2)2 +1 ⇒ λ1,2 = 2±i. Olika egenvärden,
1
. Notera att AS1 = λ1 S1 = AS1 = λ2 S1 dvs
dvs diagonaliserbar. S1 =
i
1
. Därmed x(t) = c1 e(2+i)t S1 + c2 e(2−i)t S2 .
S2 = S1 =
−i
Ex 2: Lös ẋ =
Komponentvis fås x1 (t) = e2t (C cos t + D sin t) och x2 (t) = e2t (D cos t − C sin t) .
Olika användbara matrisegenskaper
Sats 3.12: B = S −1 AS ⇒ pB (λ) = pA (λ).
Bevis: pB (λ) = det(λI − B) = det(λI − S −1 AS) = det(λS −1 IS − S −1 AS) =
det(S −1 (λI − A)S) = det(S −1 ) det(λI − A) det(S) = pA (λ). n
n
Y
X
Följdsatser: det(A) =
λi , tr(A) =
λi .
i=1
i=1
Övn 3.6: Az = λz ⇒ (aI + bA)z = aIz + bAz = (a + bλ)z.
Övn 3.7.a: Az = λz ⇒ A2 z = A(Az) = A(λz) = λAz = λ2 z.
0 1 −1
0 . A har egenvärden 0, 1, −1 och därmed tre linjär
Övn 3.7.b: A2 = 0 1
0 0
1
1
1
0
oberoende egenvektorer, nämligen S0 = 0 , S1 = 1 och S−1 = 1 .
0
0
1
2
A har egenvärdet 0, med egenvektor S0 och egenvärde 1 (dubbelt). De icke-triviala lösningarna till (I − A2 )x = 0 uppfyller
−1
1
x = t 1 + s 0 , (t, s) 6= (0, 0).
1
0
T ex t = 0 och s = 1 ger en egenvektor till A2 som inte är egenvektor till A.
1
..
Övn 3.8: Vektorn z = . är egenvektor till A med egenvärde n. Alla vektorer y
1
sådana att y · z = 0, dvs y1 + y2 + · · · + yn = 0 är egenvektorer till A med egenvärde 0,
och det finns (n − 1) st linjärt oberoende vektorer av den typen.
Övn 3.9: Med A från 3.8 har vi B = bA + (a − b)I . Jfr Övn 3.6. Samma egenvektorer
som i 3.8, med egenvärden b · n + (a − b) resp. b · 0 + (a − b).
dI
d
d
d
= 0 = (A−1 A) = (A−1 )·A+A−1 · (A) ⇒
dt
dt
dt
dt
1
dA
1 t
2 −t
0
−1
A=
⇒A =
och
=
t 2
1
2 − t2 −t 1
dt
Övn 3.28:
d −1
dA −1
(A ) = −A−1 ·
·A .
dt
dt
1
.
0
2 −t
−t 1
d −1
1
4t −t2 − 2
=
,
(A ) = −
2t
dt
(2 − t2 )2 −t2 − 2
1
d −1
(A ) = −
dt
(2 − t2 )2
2 −t
−t 1
0 1
1 0
vilket kan även beräknas genom att derivera varje matriselement för sig.
