3. En geostationär satellit går i en sådan bana runt jorden att den

3. En geostationär satellit går i en sådan bana runt jorden att den hela tiden
är rakt ovanför en och samma punkt på jordytan.
Vilken form måste banan ha?
Hur högt över jordytan befinner sig satelliten?
Lösning:
För att satelliten skall befinna sig över samma punkt på jordklotet hela tiden
mmåste den röra sig kring jordens mittpunkt i samma takt som punkten på
jordytan rör sig runt jordens mittpunkt, dvs i varv på 24 timmar.
Satelliten måste röra sig i cirkelbana kring jordens mittpunkt, eftersom
satelliten annars skulle öka farten när den närmar sig jorden, och minska
farten när den avlägsnar sig från jorden.
Cirkelbana måste ligga i ekvatorns plan, eftrsom annars skulle halva banan
vara norr om ekvatorn och andra halvan söder om ekvatorn.
Alltså: satelliten rör sig i cirkelbana, konstant avstånd r från jordens mitt,
ett varv på 24 timmar!
Satellitens fart v 
2r
t
Satelliten rör sig i cirkelbana radie med konstant fart v
Då måste satellitens acceleration vara riktad rakt in mot banans centrum
v2
och ha storleken a n 
r
Den kraft som åstadkommer denna acceleration är gravitationskraften
FG  G
mM
r2
och
Newtons andra lag ger då
 2r 


2
2
M v
t 
 2 

G 2 

  r
r
r
r
 t 
G
mM
v2

m
r
r2
2
Vilket ger
 t 
r  GM 
 2 
Alltså
2
 t 
som ger GM   r 3
 2 
2
3
nu kan man sätta in värden :
G  6.673  10 -11 m 3 / kg  s 2
M  5.98  10 24 kg
Ger r  42.26  10 3 km jordens radie: R E  6.366  10 3 km ger r  6.6 R E
Svar: Höjden över jordytan är 5.6 RE
Alternativt kan man utnyttja att storleken på gravitationskraften vid jordens
mM
som ger att GM  gR 2E
yta är G 2  mg
RE
Insättes i uttrycket för r:
2
 t 
r  gR   
 2 
3
2
E
2
3
2
gR 3E  t 
g  t 
   R E 6.6
   RE3
R E  2 
R E  2 
Svar: Höjd över jordytan är 5.6 RE