MATEMATIKPROV, KORT LÄROKURS 22.3.2017
BESKRIVNING AV GODA SVAR
De beskrivningar av svarens innehåll och poängsättningar som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens bedömning. Censorerna beslutar om de kriterier som används i den slutgiltiga
bedömningen.
Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till svaret. I lösningen måste det
ingå nödvändiga uträkningar eller andra tillräckliga motiveringar och ett slutresultat. I bedömningen
fästs uppmärksamhet vid helheten och vid de tre stegen start, mellansteg och slutresultat. Räknefel
som inte väsentligt ändrar uppgiftens natur ger ingen betydande sänkning av antalet poäng. Räknefel
och fel i den matematiska modellen som ändrar uppgiftens natur kan däremot sänka antalet poäng
avsevärt.
I provet är räknaren ett hjälpmedel, och dess roll bedöms separat för varje uppgift. Om symbolräknare
använts i en uppgift ska det framgå av prestationen. I lösningar av uppgifter som kräver analys räcker
det inte enbart med ett svar som erhållits med hjälp av räknaren utan övriga motiveringar. Däremot
räcker ett svar som examinanden fått med räknaren i allmänhet i rutinberäkningar. Detsamma gäller
rutinmässiga delar av mera omfattande uppgifter. Exempel på sådana är omskrivning av uttryck, ekvationslösning samt derivering och integrering av funktioner.
Matematikprov, kort lärokurs 22.3.2017
Beskrivning av goda svar
där två linjer är parallella och därmed inte har någon skärningspunkt
I deluppgift c räcker det att beskriva den situation som förekommer i det egna
exemplet kevät
i deluppgift
b.
Lyhyt,
2016
A A 2017
KortOsa
2 Del
vår,
1.
2.
3.
4.
1. x:n derivaatta on 1
(Korrekt
rotformeln
ELLER slutledning x = 2)
x2 :n insättning
derivaatta ion
2x
5
x = 2f eller
x 4x
=−
(x) =
+21
2
Idétill
+ x = 5x − 2
2xkvadrering
2 4
4x + 2 = 0
⇒ 322x< −
3
joten xav= parenteser
1
Avlägsning
⇒från förenklingen svaret 16
2. Idea toiseen potenssiin korottamisesta
7 < 32 = 9
Studerandebiljetten
kostar 10 euro, pensionärsbiljetten 14 euro.
2
2
+ 9 > 2x √7 · 10 + 5√
−xbiljettintäkter:
Totala
· 14 + 8 · 20 = 70 + 70 + 160 = 300
300
2
⇒Medelpriset
är 20− =315< euro.
x< 3
3x < 9 joten
ELLER
Jussi on käyttänyt sääntöä (10a + b)(10c + d)
Studeranderabatt
euro,
pensionärsrabatt
euro.
= 10c · 10a + 10
10cb
+ 10ad
+ bd, joka on 6pätevä
Rabatt totalt 7 · 10 + 5 · 6 = 100
⇒Medelrabatten
är 100
= 5 euro och medelpriset 15 euro.
3. Yhteinen tehtävä:
20 yhdistele
Uppritad linje 2y + 3x − 6 = 0.
Examinanden
ritat
upp de positiva
4. Seuraavat har
seikat
ilmenevät
kuviostax- och y-axlarna som utgör randlinjer till
området.
f (1) = 0
Korrekt
färglagt
område, dvs. uppåt och till höger från begränsningslinjen.
f on
vähenevä
f on symmetrinen pisteen 1 suhteen
Man (esimerkiksi
får 1p per korrekt
piirettysvar.
y = 2 − 2x)
D, A,g Bkasvaa välillä [0, 3 ]
D, C,g Evähenee välillä [ 32, 2]
2
OBS:gi on
versionen
synskadade
är den rätta raden DABACE.
alaspäinför
kaartuva
(eli konkaavi)
(esimerkiksi piiretty y = 12 x(3 − x))
Sannolikheten för att guldmedaljen
ges till rätt person är 15 .
Efter det är sannolikheten för att silver och brons går till rätt personer 14 och 13 .
1
⇒Svaret är 15 · 14 · 13 = 60
.
Tre medaljer kan delas ut till tre personer på 3! sätt.
1
Sannolikheten för varje utdelning är 60
utifrån deluppgift a.
3!
1
⇒Svaret är 60 = 10 .
B1-osa
Matematikprov, kort lärokurs 22.3.2017
Beskrivning av goda svar
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Del B1
För 120 euro får Ellen 120 · 9,3565 ≈ 1122,78 kronor.
När dessa växlas tillbaka får hon 1122,78/9,8605 ≈ 113, 87 euro.
Förlusten är alltså cirka 120 − 113,85 = 6,15 euro.
Avrundat till närmaste hela kronor
(examinanden behöver inte beakta de tio cent som man därmed skulle få tillbaka
vid första växlingen)
Procenterna ändrade till förändringsfaktorer: 1,1619, 0,9190, 0,9275 och 1,1189.
Produkten 1,1619 · 0,9190 · 0,9275 · 1,1189
≈ 1,10813, dvs. tillväxten är cirka 10,81 procent.
1
1
1
−0
6.
Ändarnas areor 30 och 11 ELLER en ritning med de givna längderna utmärkta.
Arean av båda bassängsidorna
25 · 3+1,1
= 51,25.
2
2
2
Bottnens sidlängd (1,9) + 25 ≈ 25,072.
Bottnens area cirka 250,72 och bassängens totala area 394,22 (m2 ).
Arean av en platta är 0,3 · 0,2 = 0,06 (m2 )
⇒Det behövs cirka 6571 plattor, dvs. 220 lådor.
1
1
1
1
1
1
7.
b = 100 (cm)
0 = k · 450 + 100
k = − 100
= − 29 (cm/h)
450
2
120 − 0,005t
= 100 − 29 t
√
1
1
1
1
5.
2
±
4
+4·0,005·20
1
1
1
81
t= 9
2·0,005
ur vilket vi får 89,3 h som duger som lösning; vidare är ljusen lika långa (0 cm)
när t 450.
1
8.
(Genom att normera variablerna [s.k. z-värden] gör vi variablerna jämförbara.)
Vi bildar alltså ekvationen Φ( t−1453
) = Φ( t−1467
).
37,2
10,5
Genom att eliminera Φ (växande funktion) får vi t−1453
= t−1467
37,2
10,5
ur vilket vi får ekvationen 393159 = 267t.
Den efterfrågade effekten är alltså 1472,506 ≈ 1473.
Bra början: fördelningarnas grafer skisserade
1
2
1
1
1
1
9.
Tornets topp ligger i punkten ( 1280
, 152),
2
2
vilket ger 152 = a640 , dvs. a ≈ 0,000371.
Riktningskoefficienten för kabelns tangent får vi från derivatan 2 · 0,000371x,
dvs. i punkten x = 640 är derivatan 0,475.
Vinkeln med x-axeln: tan α = 0,475
ur vilket α ≈ 25,41◦ och den efterfrågade vinkeln är dess komplement, 64,6◦ .
1
1
1
1
1
1
Matematikprov, kort lärokurs 22.3.2017
Beskrivning av goda svar
1
Del B2
10.
11.
12.
13.
I slutet av år 2017 är det uppskattade helhetsvärdet av depositionerna
80778000000 · 1,015 · 1,01
= 82809566700.
Den beräknade ränteprocenten för depositionerna är 0,32 − 2 · 0,05 = 0,22.
⇒ Den ränta som betalas för depositionerna är cirka 82809566700 · 0,0022 ≈
182181000.
På det här beloppet betalas en källskatt på 30 %,
dvs. cirka 182181000 · 0,3 ≈ 54654000, dvs. cirka 55 miljoner euro.
Fel noggrannhet
Sinusfunktionens period är 2π och den efterfrågade perioden är 12, dvs. c = 2π
=
12
π
1
(
).
6 mån
Vi borde få det minsta värdet då t = 2 (februari) och det största värdet då t = 8
(augusti).
Sinusfunktionens minsta värde nås (bland annat) då argumentet är − π2 ur vilket
vi får ekvationen π6 (2 + t0 ) = − π2
ur vilket t0 = −5 (mån).
Årets medeltemperatur är A = 2+8
= 5 (◦ C).
2
För temperaturens växling 2B = 8 − 2 = 6 dvs. B = 3 (◦ C).
Också ett annat val t0 = −5 + 12n duger.
Också B = −3 duger, då är t0 = 1 + 12n.
I punkten t = 16 är grafen stigande,
dvs. f (16) > 0.
Derivatan anger tangentens riktningskoefficient
och i extrempunkterna är tangenten vågrät, dvs. derivatan är noll.
Derivatans nollställe är ändå inte nödvändigtvis ett minimum eller maximum.
Ett exempel på det är funktionen y = x3 .
I punkten t = 19,3 verkar kurvan ha en nedåtriktad pik.
Derivatan växlar alltså från att vara negativ till att bli positiv utan att genomgå
värdet noll. Därför fungerar Kalles metod inte här.
I uppgiften kan man få högst sex poäng, men ”bonuspoängen” i deluppgift b kan
ersätta möjliga brister på andra ställen.
Exempel: mängden bakterier ökar exponentiellt i ett biologiskt experiment, antalet fördubblas med 35 minuters mellanrum.
Exempel: längdökningen för ett träd är inte exponentiell, utan längden ökar ungefär lika mycket varje år (till exempel 20 cm).
Matematikprov, kort lärokurs 22.3.2017
Beskrivning av goda svar
1
1
1
1
1
1
−1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(+1)
1
1
3
3
