Flervariabelanalys för I2 läsperiod III 2007 MVE 120 Lösningar till övningstentamen 10 mars 2007 1. Beräkna volymen av det område som ligger innanför sfären x 2 + y 2 + z 2 = 16 och utanför cylindern x 2 + y 2 = 4 Lösning: Volymen som skall beräknas ges av ∫∫ 16 − x 2 − y 2 dxdy där B är B området 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 16 . Genom att gå över till polära koordinater får man integralen ∫∫ 2≤ r ≤ 4 2 3 1 16 − r rdrdθ = 2π 16 − r 2 2 = 16 3π 3 4 ( 2 ) 0≤θ < 2π 2. Bestäm en ekvation för tangentplanet till ytan z 2 = x 2 + y 2 i punkten (3,4,5) . Visa att varje tangentplan till ytan passerar origo. Lösning: sätt w = z 2 − x 2 − y 2 så att den givna ytan blir nivåytan w = 0 . Då blir grad w = (− 2 x,−2 y,−2 z ) en normal till tangentplanet. Eftersom grad w i punkten (3,4,5) blir = (− 6,−8,10) får vi ekvationen till tangentplanet som − 6( x − 3) − 8( y − 4) + 10(z − 5) = 0 ⇔ 3x + 5 y − 5 z = 0 ( ) Väljer man en godtycklig punkt a, b, a 2 + b 2 på ytan (ovanför (x,y)-planet) får ( ) man på samma sätt tangentplanet a ( x − a ) + b( y − b ) − a 2 + b 2 z − a 2 + b 2 = 0 som ju passerar origo eftersom den konstanta termen blir = −a 2 − b 2 + a 2 + b 2 = 0 3. Antag att z = y + f (x 2 − y 2 ) . Visa att yz ′x + xz ′y = x Lösning: Med hjälp av kedjeregeln (sätt t = x 2 − y 2 ) får man z ′x = f ′ ⋅ 2 x och z′y = 1 − f ′ ⋅ 2 y följaktligen yz ′x + xz ′y = x 1 4. Låt f ( x, y ) = x 2 y − y 2 Bestäm riktningsderivatan av f i punkten (1,1) och riktningen (1,2 ) I vilken riktning är derivatan maximal? I vilken riktning är derivatan hälften av maximum? Lösningar: gradf = (2 xy, x 2 − 2 y ) = (2,−1) i punkten (1,1) . Så (2,−1)⋅ (1,2) = 0 där v = (1,2) f v′(1,1) = 5 5 (2,−1) Derivatan är maximal i gradientens riktning, 5 I gradientens riktning är derivatan = gradf = 5 . För att hitta en riktning där derivatan är hälften av det beloppet söker vi en vektor u sådan att 5 u ⋅ (2,−1) = Men u = 1 och skalärprodukten i VL är u (2,−1) cos θ där θ är 2 1 π vinkeln mellan gradienten och u . Alltså måste cos θ = och θ = . 2 3 Svar: i den riktning som bildar vinkeln 5. π 3 med gradienten. Beräkna medelavståndet från ringen 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 till origo. Lösning: Låt B vara området i uppgiften. Då beräknas medelavståndet som 1 x 2 + y 2 dxdy . Genom att införa polära koordinater får vi integralen till µ (B ) ∫∫ B 14 14π . Och eftersom arean av ringen är = 3π , blir svaret = r 2 drdθ = ∫∫ 3 9 1≤r ≤ 2 0≤θ < 2π 6. Bestäm största och minsta värde till f ( x, y ) = x 3 y 2 (1 − x − y ) över den slutna triangel som har sina hörn i punkterna (0,0 ), (2,0), (0,2 ) f x′ = 0 Lösningar: bestäm först stationära punkter genom att lösa systemet . f y′ = 0 3 x 2 y 2 (1 − x − y ) − x 3 y 2 = 0 ⇔ 3 Eftersom vi letar i det inre av triangeln kan vi 3 2 2 x y (1 − x − y ) − x y = 0 4 x + 3 y = 3 förutsätta att xy > 0 och systemet är därför ekvivalent med som 2 x + 3 y = 2 2 1 1 han den enda lösningen (x, y ) = , . På randen är f = 0 på linjestyckena 2 3 utmed axlarna och det räcker att undersöka x + y = 2 . 2 Sätt g (x ) = f (x,2 − x ) = x 3 (2 − x ) (− 1) så att g ′( x ) = x 2 (2 − x )(3(2 − x ) − 2 x ) = 0 i 6 punkten x = . I var och en av de tre hörnpunkterna är f = 0 och svaret blir 5 1 1 1 därför att funktionens maximum är f , = och dess minimum är 2 3 432 3456 6 4 f , =− 3125 5 5 3