Kursprov – Matematik D
Hjälpmedel: Formelblad, miniräknare samt Equation Grapher under övervakning
Derivera funktionen y 2 x 1 .
4
1.
(G)
2.
Bestäm perioden, amplituden och förskjutningen för kurvan y = 4sin(3x)
OBS: Förskjutningen skall beskrivas med antal grader samt i vilken riktning. (G/VG)
3.
Derivera .
4.
Derivera f(x) = sin(4x)
y x 2 ln( x)
(G)
(G)
5. Bestäm y då y cos(ln x ) .
(G)
6. Finn ett nollställe till funktionen f(x) = ex + 2x.
* Grafisk lösning
* Numerisk lösning
(G)
(VG)
7. Finn samtliga lösningar till ekvationen
(G)
x
tan 1
2
8. Beräkna vinkeln u. Svara med en decimals noggrannhet.
(G)
9. En konisk behållare har spetsen nedåt och lika stor höjd som radie.
Behållaren läcker så att det rinner ut 360 cm3/min. Hur förändras vätskenivån (höjden) vid det
läge då radien och höjden är 18 cm?
(VG/MVG)
10. Härled formeln för derivatan av en kvot om vi vet formeln för derivatan av en produkt.
(MVG)
11. Finn alla primitiva funktioner till funktionen f(x) = x3 + 2
(G)
12. Bestäm på två olika sätt arean under grafen till funktionen f(x) = 3+3x
mellan x=0 till x=3
(G)
13. Hastigheten för en inbromsande bil ges av formeln: v(t) = 30 – 6t+ 0,3t2
i tidsintervallet 0 t 10 där t är tiden i sekunder räknat från inbromsningens början.
a) Skissa funktionen i ett v-t-diagram
(G/VG)
b) Markera det område som beskriver bromsträckan.
c) Beräkna bromsträckan.
14. I figuren är kurvan y 2 x 3 9 x 2 12 x ritad. Beräkna arean av det streckade området. (G)
2
15. a) Beräkna integralen
sin( 2 x)dx
(G)
0
b) Förklara också varför värdet på integralen blir som det blir (VG)
16. Bestäm arean mellan graferna f(x) = x2 och g(x) = 5 – 0,5x
i intervallet x = 0 till grafernas skärningspunkt
(G/VG)
17. Bestäm det exakta värdet av den sammanlagda arean av trianglarna i figuren. (G/VG)
18. Beräkna längden av sträckan BD i figuren nedan.
(VG)
19. En cirkel är inskriven i en kvartscirkel med radien R. Bestäm den inskrivna cirkelns radie exakt.
(MVG) (Tips: Kalla den lilla radien för r och uttryck denna med hjälp av R)
20. Visa att
1
sin x
1
sin x 1 cos x tan x
(VG)
21. I en kvadrat är arean beroende av vad sidan är.
a) Beskriv A som en funktion av S.
b) bestäm dA/dS, d v s A´(S)
c) Hur snabbt ökar arean om sidan ökar med 2 cm / min?
(G)
(G)
(VG)
22. Härled derivatan av funktionen y = ln(x)
23. Visa att funktionerna y
(MVG)
x2
1
och z 2
har samma derivata. (VG)
2
x 1
x 1
24. Vad beskriver andraderivatan och vad har vi för nytta av denna vid t ex optimeringsproblem?
(VG)
25. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan 𝑁(𝑥) =
ln(𝑥)
𝑥2
(G/VG)
26. När fiskar simmar uppströms i ett vattendrag anpassar de sin hastighet så att energiåtgången
blir så liten som möjligt. Om vattnet rinner med hastigheten 4 m/s så håller fiskarna en
hastighet på x m/s som minimerar energiåtgången. Energiåtgången beskrivs av följande
x3
funktion: E(x) = 𝑥−4 x > 4
Vilken hastighet skall fiskarna hålla för att Energiåtgången skall vara så liten som möjligt?
(VG/MVG)
27. Uppgift från gammalt NP
28. Uppgift från gammalt NP
29. Uppgift från gammalt NP
30. Uppgift från gammalt NP
31. I bilden nedan är en funktion uppritad. Den har tre extrempunkter A, B och C.
x-värdet för A sätter vi till a, x-värdet för B sätter vi till b o s v.
Fyll i teckentabellen med lämpliga värden. (G/VG)
x
-3
a
0
b
1
c
2
f’(x)
f’’(x)
f(x)
Global eller lokal
