fackverk statiskt obestämdhet

Byggnadsmekanik gk 11.1
KVALITATIV ANALYS - FACKVERK
Fackverket har 9 obekanta.
(4 reaktioner + 5 normalkrafter)
STATISKT OBESTÄMDHET
Genom att använda knutpunktsmetoden kan
8 jämviktsekvationer ställas upp (24 noder).
Syftet med en fackverksanalys är att bestämma
stödreaktioner och normalkraften N i varje stång.
Om alla obekanta kan bestämmas enbart genom
jämviktsekvationer är fackverket statiskt bestämt.
I andra fallet är fackverket statiskt obestämt.
Exempel 1
2
1
3
4
P
Fackverket är statiskt obestämt av grad 1.
Det går inte att beräkna alla obekanta enbart
med jämviktsekvationer.
Många andra jämviktekvationer kan ställas
upp, genom till exempel att snitta och
betrakta jämvikten för en del av strukturen.
Dessa ekvationer är linjära kombinationer av
de 8 ekvationer som erhålls med
knutpunktsmetod och ger ingenting nytt.
Byggnadsmekanik gk 11.2
Exempel 2
2
Exempel 3
3
2
3
P
P
8 ekvationer
8 obekanta
Statiskt bestämt
1
1
4
antal obekanta = 3 reaktioner + 6 stänger = 9
Exempel 4
2
4
3
antal ekvationer = 2  antal noder = 2  4 = 8
Fackverket är statiskt obestämt av grad 1.
De 3 stödreaktionerna kan bestämmas genom
att betrakta jämvikten av hela strukturen.
Strukturen är yttre statiskt bestämd.
8 ekvationer
7 obekanta
Mekanism
1
4
(strukturen kan inte motstå kraften P.
Punkt 4 rullar åt höger)
P
Byggnadsmekanik gk 11.3
KVALITATIV ANALYS
Exempel 1
Syftet med kvalitativ analys av ett fackverk är
att för varje stång, bestämma om den är
dragen, tryckt eller ospänd.
2
3
konvention
P
T : traction
1
C : compression
U : unstressed
N12 ?
representerar en känd kraft
representerar en okänd kraft
P
1
En metod är att ställa upp kvalitativa
jämviktsekvationen för knutpunkterna.
N13 ?
krafterna som verkar
på noden betraktas.
Byggnadsmekanik gk 11.4
N13
P
:
1
N12 är kraften som stången 12 applicerar på
nod 1. Med andra ord vill stången 12 dra
noden 1 uppåt. Stången 12 är därför dragen.
Horisontell jämvikt : den horisontella
komponenten av N13 måste motverka
kraften P, vilket ger tecknet för N13.
N13 är kraften som stången 13 applicerar
på nod 1. Stången 13 är därför tryckt.
2
T
När N13 är känd kan N12 bestämmas.
N12
N13
:
1
Vertikal jämvikt : N12 måste motverka den
vertikala komponenten av N13, vilket ger
tecknet för N12.
3
P
C
1
Byggnadsmekanik gk 11.5
Exempel 2
N12
3
2
:
1
P
N12 ?
1
När N13 är känd kan N12 bestämmas.
N13 ?
Vertikal jämvikt : N12 måste motverka den
kraften P, vilket ger tecknet för N12. N12
är därför dragen.
P
1
N13
P
3
2
:
T
U
1
Horisontell jämvikt : den horisontella komponenten
av N13 är noll eftersom det är den enda
horisontella kraften som verkar på noden. N13 är
därför också noll.
1
P
Byggnadsmekanik gk 11.6
Exempel 3
Man kan fortsätta med nod 2
3
2
1
P
4
8 ekvationer
8 obekanta
Statiskt bestämt
Man måste börja med nod 3 eftersom det är
den enda nod med bara två obekanta krafter
N23
3
P
N23
N12 ?
N24 ?
Horisontell jämvikt : den horisontella
komponenten av N24 måste motverka
N23. Det ger N24 tryckt.
2
N23 är dragen
N34 är ospänd
N34
2
N12 ?
N23
N24
Byggnadsmekanik gk 11.7
Vertikal jämvikt : N12 måste motverka
den vertikala komponenten av N24 . Det
ger N12 dragen.
2
N23
2
3
T
N24
N12
T
Man kan fortsätta med nod 1 och nod 4
för att bestämma stödreaktionerna.
N12
N24
4
1
1
C
U
4
P
Byggnadsmekanik gk 11.8
Variant 1 : tecknet för den vertikala reaktionen
vid nod 1 kan bestämmas direkt genom att
betrakta jämvikten av hela strukturen.
3
2
Variant 2 : N24 kan bestämmas direkt
genom att göra ett snitt.
3
2
P
1
1
P
4
4
Den horisontella jämvikten av strukturens
övre del ger tecknet för N24.
Endast två krafter ger ett moment kring nod 4.
Den vertikala reaktionen vid 1 pekar därför neråt.
4
:
3
2
1
N24
P
Byggnadsmekanik gk 11.9
Exempel 4
2
N35 kan också bestämmas genom att
betrakta den vertikala jämvikten av nod 3.
3
3
1
4
5
N35
P
10 ekvationer - 11 obekanta : statiskt obestämt
av grad 1. Jämviktsekvationer räcker inte.
man kan ändå hitta några obekanta :
N34
Jämvikten av nod 4 ger
N34 och N45 dragna.
N45
4
P
N34
Det är omöjligt att fortsätta med
jämviktsekvationer. Man måste tänka på hur
strukturen deformeras. Ett sätt är att se att
nod 5 går åt höger och därför är stängerna
15 och 25 dragna.
Byggnadsmekanik gk 11.10
Hittills har vi hittat följande :
Stödreaktionen vid nod 5 kan inte bestämmas
genom den kvalitativa jämvikten av denna nod.
Man vet inte om den vertikala komponenten av
N25 är större eller mindre än N35.
3
2
T
1
T
C
T
T
N25
4
5
5
P
?
Nu kan man successivt fortsätta med nod 2
som ger N12 och N23 tryckta, nod 1 som ger
stödreaktionerna vid 1, och nod 3 som ger
stödreaktionen vid 3.
N12
2
N23
1
Stödreaktionen vid 5 kan hittas genom att se att
noden går neråt om stöden tas bort. För att
motverka denna förskjutning behövs en kraft uppåt.
3
2
C
N15
T
C
N12
N25
N23
N35
T
C
3
1
T
T
5
N35
N34
4
P
Byggnadsmekanik gk 11.11
Exempel 5
2
2
3
3
P
:
H4
P
4
4
:
:
V1
V4
1
1
4
8 ekvationer – 9 obekanta
statiskt obestämt av grad 1
De 3 reaktionerna kan bestämmas genom att
betrakta hela strukturen (statiskt yttre bestämt)
För att kunna fortsätta måste man tänka på
hur strukturen deformeras. Ett sätt är att se
att nod 3 går åt höger och därför är stängerna
23 och 13 dragna.
Byggnadsmekanik gk 11.12
2
3
T
N12
P
N13
T
N14
1
4
1
2
Nu kan man fortsätta som vanligt med nod 2 (för
att bestämma N12 och N24), nod 3 (för att
bestämma N34) och nod 1 (för att bestämma N14).
2
N23
N23
3
N24
N12
N13
N34
3
T
P
T
C
T
1
C
C
4