Institutionen för fysik
Umeå universitet
2012-05-21
SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL
SAMMANFATTNING
Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk
pendel.
Vi har mätt perioden för två fysikaliska pendlar och undersökt hur den påverkas av
utfallsvinkel och avståndet mellan masscentrum och upphängningspunkt, l.
Metoder som använts för att analysera data är polynomisk regression, linjärisering och
dimensionsanalys.
Enligt våra resultat ökar perioden med större vinklar, men för mindre vinklar kan perioden
beskrivas som en funktion oberoende av vinkeln. Våra resultat visar även att den matematiska
modellen stämmer.
Viktiga slutsatser är att korrektionensfaktorn beroende av vinkeln är olinjär, samt att perioden
beror på två konstanter varav den ena är g-1och den andra beror på pendeln. Förutom vinkeln
beror perioden även på l.
1. INTRODUKTION
I denna laboration ska fysikaliska pendlar användas för att bestämma vilka parametrar som
bestämmer en fysikalisk pendels svängningstid och bekräfta en given matematiska modell,
samt besvara hur hur mycket periodtiden påverkas av utslagsvinkelns storlek.
Vi ska genom experiment undersöka om följande matematiska modell är riktig:
( ),
√
,där T = Periodtiden
l = Avståndet mellan upphängningspunkt och masscentrum
= Utslagsvinkeln, samt ( ) = korrektionsfaktorn
Genom att göra en dimensionsanalys så kan man bestämma storheterna för konstanterna a och
b. Sedan kan man genom upprepade mätningar av perioden med varierande pendellängd
bestämma konstanterna a och b numeriskt för varje enskild pendel.
Korrektionsfaktorn för olika vinklar kan fås genom att utföra en polynomisk
regressionsanalys på mätdatat. Genom att plotta periodtiden som en funktion av vinkeln får
man ut korrektionsfaktorn ( ).
Vi har undersökt svängningstiden för två olika pendlar.
2. TEORI
Vi skriver om ekvationen på ett sådant sätt så att vi kan lösa ut konstanterna a och b
numeriskt med hjälp av regressionsanalys.
( )
√
( )
,
( )
där T = Periodtiden
l = Avståndet mellan upphängningspunkt och masscentrum
= Utslagsvinkeln, samt ( ) = korrektionsfaktorn
Om man plottar upp den linjära ekvationen med hjälp av en dator kan man att bestämma
konstanterna a och b numeriskt.
- 2/10 -
(2) Y = kx + m,
där
( )
,
.
Där a är konstanttermen m och b är riktningskoefficienten k.
Dimensionsionerna på a och b kan bestämmas genom att göra en dimensionsanalys,
eftersom ( ) och 2π är dimensionslösa så har vi att:
(3) [
[
√[
=> a = [
[ ,b=
[
[
där [T] = tidenhet, [L] = längdenhet
3. EXPERIMENT
Pendelarna bestod av två masonitskivor med ett stort antal hål för att avståndet mellan
masscentrum och upphängningspunkten skulle kunna varieras. Upphängningspunkten var en
gängstav fastsatt på väggen i vilken pendeln skruvades fast. På denna gängstav satt även ett
lod för att kunna mäta utslagsvinklarna.
Fig. 1: Den osymetriska skivan, S2:
- 3/10 -
Fig. 2: Den symmetriska skivan, S1:
För att kontrollera de vinklar som redan var utsatta på den runda pendel, S1, kontrollerade vi
att två av gradersmarkeringarna var korrekta. Detta gjordes genom att mäta båglängden från
lodlinjen till markeringen samt pendelns radie. Då den andra pendeln, S2, ej var regelbundet
formad bestämdes dess masscentrum genom att hitta den punkt på vilken den kunde
balanseras på ett finger. För att kontrollera att den utsatta markeringen för 10 grader var
korrekt för S2 mätte vi triangeln som bildades mellan markeringen, upphängningspunkten och
lodlinjen.
Vi började med att göra ett stort antal mätningar av perioden för S1 då utslagsvinkeln
hölls konstant vid 10 grader. Avståndet mellan masscentrum och upphängningspunkten hölls
också konstant. Då vi använde en rund pendel antogs masscentrum ligga i pendelns mittpunkt.
Med ett tidtagarur mättes tiden för tre perioder då tidtagaren satte igång klockan
samtidigt som han eller hon startade pendeln i vändläget och stannade klockan tre perioder
senare i samma vändläge. I senare experiment är detta standardsättet för mätning av perioden.
Som jämförelse mättes även perioden då pendeln först startades och tidtagaren sen startade
klockan i jämviktsläget för att sen stanna klockan tre perioder senare. För att se hur perioden
eventuellt påverkas av utslagsvinkeln gjorde vi upprepade mätningar av perioden för S1 vid
olika vinklar. I dessa försök hölls avståndet mellan upphängningspunkten och masscentrum
konstant.
- 4/10 -
Sist gjordes mätningar av perioden för olika avstånd mellan upphängningspunkten och
masscentrum för de två pendlarna. Under dessa mätningar hölls utslagsvinkeln under 15
grader.
4. RESULTAT OCH DISKUSSION
Den uppmätta båglängden från lodlinjen till tiogradersmarkeringen blev 18,0(5) cm, samt
89,0(5) cm för 50 grader. Den runda pendelns radie mättes och blev 50,5(5) cm. Genom att
använda randvinkelsatsen fick vi att vinklarna var 10,2(4) grader resp 50,5(3) grader. För den
oregelbundna pendeln kom vi fram till att markeringen för tio grader var korrekt genom att
använda tangens och våra mätvärden. Vi drog då slutsatsen att alla utsatta vinklar på
pendlarna var utsatta med tillräcklig precision för våra experiment.
De värden vi fick då vi mätte tre perioder för S1 med konstant utfalls vinkel på 10
grader varierade mer än väntat, se tabell 1 för värden. Tabell 2 visar statistik av mätvärdena i
tabell 1. Denna statistik är framtagen i programmet Octave. Då standardavvikelsen var minst
för båda tidtagare när denne startade klockan samtidigt som han släppte pendeln är det detta
sätt som används under resterande mätningar. Teoretiskt sett borde dock standardavvikelsen
vara mindre då klockan startas och stannas i jämviktsläget eftersom pendeln befinner sig där
under kortare tid än i vändpunkterna. Vårt avvikande resultat beror antagligen på att samma
person startade klockan och pendeln samtidigt för vändpunktsmätningarna, vilket minimerade
starttidsfelet. Om vi istället först startat pendeln och sen startade klockan vid en senare
vändpunkt hade vårt resultat antagligen blivit detsamma som det teoretiska. Då Christers
standardavvikelse var mindre än Madeleines fick han utföra resterande tidtagningar.
Tabell 1 Tabell över mätvärden för tre perioder när klockan startade och stannades vid
jämviktspositionen respektive vändläget.
Mätdata 3T (s)
Christer
Madeleine
Vändpunkt (A) Jämvikt (B) Vändpunkt (C) Jämvikt (D)
5,09
5,20
5,18
5,27
5,09
5,36
5,05
5,36
5,14
5,27
5,18
5,14
5,05
5,36
5,14
5,18
5,18
5,24
5,02
5,27
5,09
5,27
5,20
5,36
5,02
5,20
5,14
5,27
5,05
5,27
5,24
5,24
5,09
5,24
5,11
5,27
5,14
5,27
5,18
5,36
- 5/10 -
Tabell 2 Tabell över statistik av mätvärdena från tabell 2. Rad A i tabell 2 svarar mot värden
från kolumn 1-Vändpunkt (A)- i tabell 1, osv.
Tabell 3 visar mätdata för olika utfallsvinklar för den runda pendeln. Som väntat blir
periodtiden längre för större vinklar, dvs korrektionsfaktorn kan ej antas vara 1 för större
vinklar. Figur 1 visar perioden som en funktion av vinkeln. Av denna figur är det tydligt att
sambandet mellan vinkel och period är olinjärt. P.g.a. summeringen av två termer under
rottecknet i ekvation (0) går ej standardmetoden med linjärisering och logaritmering att
använda i detta fall.
Andragradspolynomet representerar värdena bättre än linjäriseringen men mätdata för
fler vinklar skulle vara önskvärt, samt mer mätdata för varje vinkel. Då det var svårt att mäta
perioden för vinklar mindre än tio grader saknas mätdata i intervallet 0-10 grader, men man
kan ändå från figur 1 se att antagandet att korrektionsfaktorn är 1 för mindre vinklar ger en
godtagbar approximation för vinklar under 15 grader, men ännu bättre approximation fås av
vinklar som är max 10 grader. Detta ses i figur 1 genom att andragradspolynomets graf planar
ut för mindre vinklar. Korrektionsfaktorn kan beräknas genom att räkna förhållandet mellan
periodtiden för en specifik vinkel och interceptet.
Tabell 3 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod, T, för olika vinklar för den runda
masonitskivan.
Utfallsvinkel
mätning 1 [3T] mätning 2 [3T]
(grader)
(s)
(s)
10
20
5,14
5,18
25
5,18
5,24
30
5,24
5,20
40
5,27
5,27
50
5,42
5,42
60
5,57
5,54
*Värde från tidigare mätningar (medelvärdet för perioden för
är 10 grader, se tabell 2, rad A)
- 6/10 -
T (s)
1,70*
1,72
1,74
1,74
1,76
1,81
1,85
Christers mätningar då vinkeln
Fig. 1 Periodtiden som en funktion av utslagsvinkeln, med en linjär och en
andragradspolynom anpassning.
Tabell 4 visar de värden vi fick på medelperioden då vi ändrade längden, l, mellan
upphängningspunkten och masscentrum för den runda pendeln. I detta experiment var vinkeln
tänkt att vara konstant 10 grader men då vi använde samma markering på pendeln och ej tog
med i beräkningarna att vinkeln ändras med l, (randvinkelsatsen gäller ej längre), blev vinkeln
något större för mindre l. Samma experiment utfördes med den andra oregelbundna pendeln.
Dessa värden finns i tabell 5. Även här varierade vinkeln något.
Tabell 4 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod för olika längder på l för den runda
masonitskivan.
l (m)
tid 1 [3T] (s)
tid 2 [3T] (s)
tid 3 [3T] (s)
T (s)
0,12
6,85
6,63
6,66
2,24
0,24
5,14
5,24
5,2
1,73
0,32
5,02
5,02
5,02
1,68
0,36
5,02
5,06
5,02
1,68
0,40
5,06
5,06
5,02
1,68
0,44
5,09
5,02
5,02
1,68
0,48
*Värde från tidigare mätningar
1,70*
- 7/10 -
Tabell 5 Tabell över mätdata och uträknad medelperiod för olika längder på l för den
oregelbundna masonitskivan.
längd m
0,09
0,14
0,21
0,28
0,34
0,40
0,49
tid 1
6,09
4,94
4,51
4,49
4,36
4,51
4,89
tid 2
5,97
4,82
4,49
4,36
4,49
4,57
4,82
tid 3
5,85
5,06
4,51
4,49
4,58
4,58
4,73
medel T
1,99
1,65
1,50
1,48
1,49
1,52
1,61
Med hjälp av programmet Octave kunde vi med dessa mätdata bestämma konstanterna
a och b numeriskt för de två pendlarna, genom att ansätta X och Y enligt ekvation (2).
Resultatet för den runda pendeln visas i figur 2 och för den oregelbundna i figur 3.
Linjäranpassningen i figur 2 ger a=0,0133 och b=0,0939 för den runda pendeln. För den andra
pendeln ger linjäranpassningen istället a=0,0077 och b=0.0993.
Fig. 2 X som en funktion av Y för den runda pendeln.
- 8/10 -
Fig. 3 X som en funktion av Y för den oregelbundna pendeln.
För att bestämma tyngdaccelerationen g, betraktade vi enheterna för g samt a och b
som vi kommit fram till genom dimensionsanalys.
[a]=s2m
[b]=s2/m
[g]=m/s2
Inspektion ger att 1/b har samma enhet som g och eftersom våra två värden på b var
ungefär lika för båda pendlar kan man misstänka att b kan vara en konstant som är oberoende
av pendeln. Vi testade därför att ansätta g=1/b vilket med våra värden ger
g=1/b=1/0.0939=10.6 m/s2 för den runda pendeln, S1
g=1/b=1/0.0993=10.1 m/s2 för den oregelbundna pendeln, S2
Framförallt för den oregelbundna pendeln är detta en skaplig uppskattning av g och vi drog
slutsatsen att antagandet g=1/b är korrekt men att våra värden på konstanterna a och b inte är
helt korrekta p.g.a. mätfel.
5. SLUTSATSER
En slutsats är att den givna matematiska modellen för perioden för en fysikalisk pendel, ekv
(0), stämmer väl överens med verkligheten. Samt att korrektionsfaktorn blir större för större
vinklar. Sambandet mellan perioden och utfallsvinkeln approximeras bäst med ett polynom.
För små vinklar är korrektionsfaktorn ungefär 1, och kan därmed försummas. Perioden blir då
- 9/10 -
bara beroende av längden från masscentrum till upphängningspunkten och två konstanter.
Konstanten b i modellen är i själva verket g-1och ska därför vara densamma för alla pendlar,
även om b i våra resultat skiljer sig något för de två pendlarna. Konstanten a däremot beror på
pendeln, och kan bestämmas genom linjärisering av den matematiska modellen.
- 10/10 -
