Hemuppgift 1

Kungliga Tekniska Högskolan
Civilingenjörsutbildningen i elektroteknik
2E1340 Digital Signalbehandling hemuppgift1
Stockholm 2000-11-26
Bo Enstedt 750427-0138
Andreas Kämpe 701115-0054
Hemuppgift 1
2E1340 Digital Signalbehandling
Inledning
Uppgifterna i hemtalet bygger på att avgöra infallsvinkeln för en okänd smalbandig
signal. Ingående data är givna som en uppsättning komplexa mätvärden från en
gruppantenn eller ”array” med M st element.
1 Problembeskrivning
1.1 Teori
En plan våg utbreder sig i ett homogent medium. Vågen samplas i mediumet av en
”array” med M element, placerade med inbördes avståndet d längs en linje. Infallsvinkeln
 för den plana vågen definieras positiv moturs, vilket ger  som en negativ vinkel i
figuren nedan.
Den infallande signalen r (t ) är behäftad med brus och modelleras som r (t )  s(t )  n(t )
där s (t ) är signalen från en avlägsen källa.
Infallsvinkeln  kan modelleras som en fasskillnad  mellan de inbördes elementen. Vid
snett infallande våg blir vägskillnaden   d sin  . Det ger fasskillnaden mellan
d
  2 sin 
(ekvation1)
elementen:

Utsignalen x m (t ) på respektive element får således en faskomponent  på grund av
infallsvinkeln  och modelleras som xm (t )  e im s(t )  n(t ) .
m = 0 ... M-1
1.2 Uppgifter
Hemtalet innehåler tre moment:
1. Bestäm infallsvinkeln  i grader för en okänd infallande signal. Indata är given som
”array1”, som är en vektor med komplexa mätdata från 10 element.
2. Bestäm antalet signaler och deras motsvarande infallsvinklar i grader. Indata är given
som ”array2”, som är en vektor med komplexa mätdata från 25 element.
3. Bestäm minsta vinkeln  mellan två infallande signaler där de fortfarande kan
särskiljas. Signalerna infaller från 0/2. Undersök om det är lättare eller svårare att
särskilja signalerna om infallsvinklarna är 50/2.
Därutöver skall ett antal frågor besvaras, vilket görs i punkt 2.4 nedan.
2 Lösning och resultat
2.1 Uppgift 1
Bruset anses vara litet och uppgiften löses med direkta metoden. Genom att
kompensera för fasskillnaden mellan elementen kan känsligheten i en viss riktning
maximeras, detta kallas lobformning. Formeln som används är:
1
PBF ( ) 
M
2
M 1
x
m 1
e
im
m 0
När vi känner  kan infallsvinkeln  beräknas med ekvation 1 ovan. Vi låter  vara en
oberoende variabel - till  och plottar periodogrammet i Matlab. Märk att infallsvinkeln
bara är entydigt bestämd mellan -/2 och /2.
90
25
120
60
20
15
150
30
10
5
180
0
210
330
240
300
270
Periodogrammet ger infallsvinkeln  = -27 eller -153.
2.2 Uppgift 2
Problemet kan lösas på samma sätt som i uppgift 1. Periodogrammet plottas i Matlab.
90
100
120
60
80
60
150
30
40
20
180
0
210
330
240
300
270
Tre infallande signaler kan urskiljas. Dessa har infallsvinklarna 1 = 0.7,  2 = 6.2 och
 3 = -39. Figuren visar att signalerna har olika intensiteter där signalen med infallsvinkel
 2 är starkast.
2.3 Uppgift 3
Vi tillverkar 10 egna komplexa mätdata, motsvarande en array med 10 element, som
summan av två infallande signaler med inbördes vinkeln . Signalerna placeras
symmetriskt kring infallsvinkeln 0. Signal till brus-förhållandet anses vara stort och därför
behandlas uppgiften med direkta metoden. Periodogrammet plottas iterativt för olika  för
att finna det minsta  för vilken de två signalerna kan särskiljas.  bestämmdes till 8 och
periodogrammet ser då ut som figuren till vänster:
90
90
1
120
60
2.5
120
60
0.8
2
0.6
1.5
150
30
150
30
0.4
1
0.2
0.5
180
0
210
330
240
300
270
180
0
210
330
240
300
270
Frågan är nu om det blir lättare att särskilja signalerna om de infaller symmetriskt kring
infallsvinkeln 50. Svaret blir att de är svårare att särskilja vilket ses i figuren ovan till
höger, som är plottad med  = 8 och med en ”offset” på 50. Anledningen att det blir
svårare beror på att sin  är en olinjär funktion, vilket medför att ökningen i fasskillnad
mellan de inbördes elementen är mindre när theta närmar sig /2.
2.4 Frågor
-Varför är spektrummet osymmetriskt?
Komplex insignal ger ett osymmetriskt spektrum.
-Från vilka riktningar kan infallsvinklar bestämmas med en fasstyrd array?
Det går inte att avgöra om signalen infaller från övre eller undre halvplanet. I våra
lösningar har vi antagit att signalen infaller från övre halvplanet, dvs i intervallet


   , då  definieras som i figur 1.
2
2
-Hur ska avståndet mellan elementen generellt väljas i en array?
Avståndet d mellan elementen i en array bör väljas mindre eller lika med
uppkommer sidolober.

. I annat fall
2